1 ( .)4 Sitzung der physikalisch -mathematischen ('lasse v. 8. Februar 1906. 

 Bilden die h Matrizen 

 (2.) A. IJ. <.■■■ 



eine Darstellung von £» so bilden die Matrizen 



( 3 .) .-i'-'./r-.r >,... 



ebenfalls eine Darstellung. Denn ist etwa AB = C, so ist auch 

 A'-'B'- 1 = C'-\ Der Gleichung F l R'-'F = R zufolge ist sie der zu 

 (2.) konjugiert komplexen Darstellung A ,B , C , ■■• äquivalent. Ist 

 die eine dieser beiden inversen Darstellungen irreduzibel, so ist es auch 

 die andere. Entspricht der ersten der Charakter yAR), so entspricht der 

 andern der inverse Charakter y^(R~ l ) (weil konjugierte Matrizen dieselben 

 Diagonalelemente haben). Nun sind %(R) und yAR~ l ) immer konjugiert 

 komplexe Größen. Ist also %(R) reell, so ist y^R' 1 ) = yAR), dem- 

 nach sind die beiden Darstellungen (2.) und (3.) äquivalent. Es gibt 

 also eine Matrix G, deren Determinante nicht verschwindet und die 

 den h Gleichungen GRG' 1 = R 1 ' 1 genügt. Schreibt man diese in 

 der Form 



(4.) R'GB= G, 



so kann G als eine bilineare Form aufgefaßt werden, die von den 

 h Substitutionen R der Gruppe Ö in sich transformiert wird. 



Wenn es umgekehrt eine bilineare Form G gibt, die den h Glei- 

 chungen (4.) genügt, so ist GR = R~ l G. Ist die Darstellung (2.) 

 irreduzibel, so muß daher die Determinante von G von Null ver- 

 schieden sein. Dies folgt aus dem Satze (Neue Begründung der Theorie 

 der Gruppencharakiere § 2, Sitzungsberichte 1905, S. 409): 



Es seien X und X' zwei irreduzible Gruppenmatrizen der Grade f 

 und f. Ist dann P eine konstante Matrix mit f Zeilen und f Spalten, 

 für die die Gleichung XP = PX' besteht,, so ist entweder P = 0, oder 

 es sind X und X' äquivalent, und P ist eine quadratische Matrix des 

 Grades f = f von nicht verschwindender Determinante. 



Daher ist GRG~ l = R'\ und folglich ist yjR) = yAR' 1 ) ein 

 reeller Charakter. 



Ist die betrachtete Darstellung irreduzibel, so kann es nicht mehr 

 als eine bilineare Form G geben, die den Bedingungen (4.) genügt. 

 Denn ist H=R'HR eine zweite, so ist R(G i H) = (G~ 1 H)R. und 

 mithin ist G' 1 H = cE, wo c eine Konstante ist und H = eG. Nun 

 folgt aber aus den Gleichungen (4.) durch Übergang zu den konju- 

 gierten Matrizen R'G'R= G'. Dalier ist G' = cG, und wenn man 

 die konjugierten Matrizen nimmt. G = cG' und mithin G = c~G, 

 demnach c = +1. Die Form G ist also entweder symmetrisch oder 

 alternierend. Isl sie symmetrisch, so kann sie durch eine (vielleicht 



