Frobenius u. I.Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 1515 



imaginäre) Substitution in E transformiert werden. Nach dem in § i 

 entwickelten Satze ist daher die Darstellung (2.) einer reellen äqui- 

 valent. Umgekehrt gibt es, wenn dies der Fall ist, eine quadratische 

 Form G, welche die Substitutionen von S> zuläßt. Ist also der Cha- 

 rakter y,(R) reell, ohne daß ihm eine reelle Darstellung von £> ent- 

 spricht, so muß G alternierend sein und umgekehrt. Demnach haben 

 wir für das Eintreten eines der drei oben unterschiedenen Fälle das 

 folgende Kriterium: 



I. Es gibt eine symmetrische bilineare Form, welche die Sub- 

 stitutionen von .'ö zuläßt. 



II. Es gibt eine alternierende Form. 



III. Es gibt keine Form dieser Art. 



Wir wollen dem Charaker %(R) eine in der Gleichung G' = cG 

 auftretende Konstante c zuordnen, die im ersten Falle gleich + 1 , im 

 zweitten - 1 ist, und die im dritten Falle gleich sein soll. So ent- 

 sprechen den k Charakteren y}^ (R) der Gruppe § ^ Konstanten c x . 

 Ist c„ = — 1 , so ist der Grad/„ stets eine gerade Zahl, weil eine alter- 

 nierende Determinante unpaaren Grades verschwindet. 



§4- 

 Sei U = (u aS> ) eine Matrix, deren f' 1 Elemente u a ~ unabhängige 

 Variable sind. Dann ist 



XR'i'R = G 



R 



eine bilineare Form, welche die h Substitutionen von irS zuläßt. Denn 

 es ist 



A'GA = X(RA)'U(RA) = XR'UR = G. 



R R 



Im dritten Falle muß daher G identisch verschwinden. Folglich ist 



2 5 r ay u„ & r^j = 

 •R «,0 



5 r„ y >•£,$ = 0. 



und mithin 



Nun sind die /" Größen 



die Elemente der Matrix R-. Daher ist 



5 R"- = o . 



R 



und weil y^{R) die Spur von R. ist, 



%x{R l ) = 0- 



R 



In jedem Falle ist G = cG', folglich 



i i. /', f . »„;/•;„— ci 2 /•,„•,(>,.:/•;.., 

 /: - R tt.ß 



