Frobenius u. I. Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 197 



die Glieder zusammen, für die S 2 denselben "Wert R hat, so erhält man 



*5(Ä)x»(Ä) = a, 



wo £{R) die Anzahl der Matrizen S von i} ist, die der Gleichung 

 <S" = R genügen. Durch Auflösung dieser Gleichungen ergibt sich, 

 da i(R) = ^(Rr 1 ) ist, 



(7-) l'(i?) = 2^ x W(/?). 



Die Anzahl der Lösungen S der Gleichung S' 1 = R ist 

 C(Ä) = 2;cwx«(*). 



7w dieser Summe ist c„ = 0, M>raw y}*\R) imaginär ist. Ist aber 

 der Charakter y} x) (R) reell, so ist c x = +1 oder —Ijje nachdem ihm eine 

 reelle Darstellung der Gruppe entspricht oder nicht. 



Speziell ist die Anzahl m = £(E) der Lösungen der Gleichung 

 S 2 = E gleich 



(8.) m = Xe n f u% 



also gleich dem Überschuß der Summe der Grade der reellen Dar- 

 stellungen über die Summe der Grade der imaginären mit reellem 

 Charakter. Die letztere Summe ist folglich stets kleiner als die erstere. 

 Die Formel (7.) kann man auch aus der Gleichung (6.) ableiten. 

 Allgemeiner ist 



(9-) h - -j^i 



die Anzahl der Lösungen der Gleichung 



(10.) R{R 2 ... R: = E. 



Insbesondere ist (für y. = 2) die Anzahl der Lösungen der Gleichung 

 R 2 = S~ gleich h mal der Anzahl der reellen Charaktere. 



§5- 

 Die im vorigen Paragraphen durchgeführten Rechnungen kann 

 man durch die folgende Überlegung ersetzen (vgl. Molien, Über die 

 Invarianten der linearen Substitutionsgruppen,, Sitzungsberichte 1897): Ist 



(1.) x<x = X r a „;/ x 



die lineare Substitution, deren Matrix R ist, so ist 

 x a x ß = X r ttH r^y K y x . 



