198 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



Aus der gegebenen Substitution, wodurch für die / Variabein x a die 

 / neuen Variabein y a eingeführt werden, ergibt sich so eine neue 

 Substitution 



(2 .) x aß = 2 \ (?•„«»■£>. + r aX r$ H )y H7[ , 



wodurch für die ä/(/+l) Variabein x a3 = x$ a ebenso viele neue Va- 

 riahein y a c, = y &a eingeführt werden. Die Spur dieser Substitution ist 



(3-) 7(x(tf)x(*) + x(« 2 ))- 



Wenn es nun eine quadratische Form G = 2 a a ~x a x & gibt, welche 

 die Substitution (i.) zuläßt, so ist X a aS ,x aS> eine lineare Form, die 

 von der Substitution (2.) in sich transformiert wird, und umgekehrt. 



Bilden die h Substitutionen (1.) eine Darstellung der Gruppe £>, 

 so bilden auch die h neuen Substitutionen (2.) eine solche Darstellung. 

 In dieser kommt in dem betrachteten Falle die Hauptdarstellung vor, 

 und zwar nur einmal, weil es nicht mehr als eine quadratische Form 

 wie G gibt. Folglich ist in diesem Falle 



(4.) S'(x(fi)x(fi) + x(ß ! ))=*. 



Ist ferner 



®'a = 2 r aK y' K 



die Substitution (1.), in anderen Variabein geschrieben, so ist 



x a xji-XßX^X (r aK r 3> . - r„ x ■>•,:„) (//„ yl - y x y' x ) . 



Auf diese Weise ergibt sich aus (1.) die Substitution 



(5 .) x*& = 2 {r m /',;, - >■„, r lx ) i/ x> , 



vom Grade 9 /(/—!)> deren Spur ist 



(6.) ^(x(ß)x(Ä)-x(Ä 2 ))- 



Wenn es nun eine alternierende Form gibt, welche die // Sub- 

 stitutionen R zuläßt, so enthält der (zusammengesetzte) Charakter (6.) 

 den Hauptcharakter einmal und nur einmal, und folglich ist in diesem 

 Falle 



(7-) 2 !(X(*)X(A')-X(K 2 )) = *. 



Wenn alter keine bilineare Form G die Substitutionen von i3 zuläßt, 

 so hat jede der beiden eben berechneten Summen den Wert Null. 

 Demnach ist allgemein 



(8.) 5 x (fi>) = cA. 



