Frobenius u. I. Schür: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 199 



Daß es nicht mehr als eine bilineare Form G gibt, die den 

 Bedingungen W GR = G genügt, braucht in der obigen Entwicklung 

 nicht benutzt zu werden. Denn ist die Summe (4.) gleich hp und 

 (7.) gleich hq, so ist p + g = 1, weil i %(R) %{R) = h ist, und folg- 

 lich ist von den beiden positiven ganzen Zahlen p und q die eine 

 O und die andere 1. 



Das Vorkommen des Falles c = - 1 ist schon früher direkt 

 {['her eint Klasse von endlichen Gruppen linearer Substitutionen, Sitzungs- 

 berichte 1 903 , S. 80) an dem Beispiele der Quaternionengruppe ge- 

 zeigt worden. Diese Gruppe der Ordnung h = 8 enthält 2 invariante 

 Elemente E und F. Das Quadrat jedes der 6 andern Elemente G 

 ist G 1 = F. während F'~ = E ist. Von den 5 irreduzibeln Darstel- 

 lungen der Gruppe sind 4 linear, die fünfte quadratrisch. Ist % der 

 Charakter der letzteren, so ist %(£) = 2, Vj {F) = -2 und %{G) = 0. 

 Daher ist 



- X (Ä 2 ) = 2 X (E) + G X (F) = _ 8 = - A, 

 ä 



und mithin entspricht diesem reellen Charakter keine reelle Darstelluni;. 



Andere Beispiele liefern die (erweiterten) Gruppen des Tetraeders, 

 Oktaeders und Ikosaeders, deren Charaktere in der Arbeit Über die 

 Coiirposition der Charaktere einer Gruppe, Sitzungsberichte 1899, S. 339 

 mitgeteilt sind, und zwar tritt der Fall c = -l bei der Darstellung 

 (4.) der Tetraedergruppe, den Darstellungen (5.), (6.) und (7.) der Ok- 

 taedergruppe und den Darstellungen (5.), (6.), (7.) und (8.) der Iko- 

 saedergruppe ein. Etwas wesentlich Neues aber liefern diese Beispiele 

 nicht, weil alle diese Gruppen die Quaternionengruppe enthalten. 



Daß diese Gruppen Darstellungen der zweiten Art enthalten, 

 kann man auch aus dem folgenden leicht zu beweisenden Satze schließen : 



Jedt endliche Gruppe, die nur ein Element der Ordnung 2 enthält, 

 und keinen Charakter der zweiten Art besitzt, ist das direkte, Produkt einer 

 zyklischen Gruppe der Ordnung 2" und einer Gruppe ungerader Ordnung. 



Umgekehrt besitzt eine Gruppe, die ein solches direktes Produkt 

 ist. keine Darstellung der zweiten Art. 



§ 6. 

 Durchläuft R die h Elemente der Gruppe §, so stellt R~ l AR 

 die sämtlichen mit A konjugierten Elemente dar (und jedes gleich oft). 

 Nun isi {R~ X ARY = R-*A"R. Sind daher 

 (1.) -i./;.r,... 



die Elemente einer Klasse (von konjugierten Elementen), SO sind 



(2.) .1". /r, r\ ... 



