200 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



ebenfalls die sämtlichen Elemente einer Klasse. Ist ferner \j. relativ 

 prim zu h, so sind die Elemente (2.) auch untereinander verschieden. 

 In diesem Falle nennen wir die beiden Klassen (i.) und (2.) konjugiert. 

 Sind zwei Klassen einer dritten konjugiert, so sind sie es auch unter- 

 einander. 



Sind speziell die beiden Klassen (1.) und (2.) einander gleich, 

 so sagen wir, die Klasse (1.) läßt die Substitution (R,R") zu. Eine 

 Klasse, welche die Substitution (R , Jt~ l ) zuläßt, heißt eine zweiseitige 

 Klasse. 



Ist \x relativ prim zu h, so durchläuft R" gleichzeitig mit R die 

 h Elemente von §, nur in anderer Reihenfolge. Daher unterscheiden 

 sich die h Werte %{R U ) von den h Werten %(-ß) eines Charakters % 

 nur durch die Anordnung. Nun ist jeder einzelne W'ert %(.ß) eine 

 ganze Funktion einer primitiven h ien Einheitswurzel uo mit ganzzahligen 

 Koeffizienten, und %{R") geht daraus hervor, indem man ui durch die 

 (algebraisch) konjugierte Zahl cd" ersetzt. Die h Werte %(.R) können aber 

 als eine Lösung eines gewissen Systems algebraischer Gleichungen mit 

 rationalen Koeffizienten definiert werden. Demnach genügt %(R") = ^(R) 

 den nämlichen Gleichungen, und ist folglich ein Charakter von £• 

 Zwei solche Charaktere nennen wir konjugiert. Ist -<p{R) = %{R), so 

 sagen wir, der Charakter %{R) läßt die Substitution (R , R") zu. Dann 

 gilt der Satz : 



Die Anzahl der Charaktere , welche die Substitution {R, R") zulassen, 

 ist gleich der Anzahl der Klassen, welche dieselbe Eigenschaft besitzen. 



Um dies zu beweisen . betrachten wir die Summe 

 , = 2 v xW(jR - 1)xW(/r) . 



x K 



Wenn der Charakter % M die Substitution {R,R*) nicht zuläßt, so ist 

 y}^ (R*) = yJ :/) (R) ein von % (k) verschiedener Charakter, und mithin ist 



- xM(Ä-i)xM(R*) = 5 x^KÄ-OxW = ■ 



K 7,' 



Wenn aber % w jene Substitution zuläßt, so ist diese Summe gleich h. 

 Folglich ist s = hm, wo m die Anzahl der Charaktere ist, welche die 

 Substitution (R , R") zulassen. 

 Ferner ist die Summe 



2 x W(fi-.) x W(ZO = o, 



wenn R und R' x nicht konjugiert sind. Sind sie es aber, so ist jene 



Summe gleich . . Denselben Wert hat sie für jedes der h x Elemente 



der Klasse, der R angehört. Diese Klasse läßt die Substitution (R, R") 

 zu, und wenn man über die /',,. Elemente dieser Klasse summiert, so 



