Frobekius ii. I. Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 201 



erhält man 'h R = h. Folglich ist s = hm', wo m die Anzahl 

 hu 



der Klassen ist, welche die Substitution (R,R U ) zulassen. Demnach 

 ist m = in'. Speziell gilt der Satz: 



Die Anzahl der reellen Charaktere einer Gruppe ist gleich der Anzahl 

 der zweiseitigen IUassen. 



Durchläuft sowohl R wie S die h Elemente von £>, so ist hin 

 die Anzahl der Lösungen der Gleichung SRS -1 = R~ l . Denn diese 

 Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn R einer zweiseitigen Klasse 

 angehört. Ist R eins der h K Elemente einer solchen Klasse, so gibt es 



■7— Elemente, die mit R vertauschbar sind, und ebenso viele, die R 



llR 



in das konjugierte Element R' 1 transformieren. Setzt man für R der 

 Reihe nach die h R Elemente einer solchen Klasse, so erhält man 



- r -h R = h Lösungen, und demnach hat die Gleichung SRS' 1 = R~ x 



" R 



im ganzen hm Lösungen. Ersetzt man R durch RS~\ so nimmt jene 

 Gleichung die Gestalt 



(3.) R* = S* 



an (vgl. § 4). 



AVenn man die Anzahl der irreduzibeln Darstellungen von *p, 

 die den drei in § 3 unterschiedenen Fällen entsprechen, mit k 1 , k 2 , k 3 

 bezeichnet, so ist 



/>'i + A'2 + kz = k . k, + &s = m * 



wo k die Anzahl der Klassen, m die der zweiseitigen Klassen be- 

 zeichnet. Die Einzelwerte dieser Zahlen haben wir nicht ermitteln 

 können. Die Zahl k, ist immer gerade, weil jedem imaginären Cha- 

 rakter %{R) der von ihm verschiedene konjugiert imaginär oder in- 

 verse Charakter y^R' 1 ) entspricht. Die Zahlen k 2 und k, können ver- 

 schwinden, &, ist immer >0, weil der Hauptcharakter von der ersten 

 Art ist. 



Ist h ungerade, so ist in = 1 und folglich k^ = 1, k 2 = 0, & 3 = k— 1, 

 d. Ii. es sind alle Charaktere außer dem Hauptcharakter imaginär. Dies 

 kann man, wie Hr. Burnside (Proc. of the London Math. Soc. Bd. 33, 

 S. 168) bemerkt hat, auch direkt aus der Gleichung 



S x(R) = 



R 



ableiten, die für jeden Charakter, außer dem Hauptcharakter nilt. 

 Da h ungerade ist, so genügt nur das Hauptelement E der Gleichung 

 R" = K, sonst alier sind R und R~ l verschieden, daher kann man 

 die obige Gleichung in der Form 



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