202 .Sitzung der physikalisch -mathematischen Gasse v. 8. Februar L906. 



x (E) + ^( x (H) + x (R-')) = 



.schreiben, wo sich die Summe nur über - (A-l) Elemente erstreckt. 

 Wäre nun %(Ä) reell, so wäre %(-#"') = %(-ß) und mithin 



Folglich wäre / eine ganze algebraische und demnach eine ganze 



rationale Zahl, während doch / als Divisor von h ungerade ist. 



Ist aber h gerade, so ist k\ > 1 , es gibt also mindestens eine 

 reelle Darstellung von §; außer der trivialen, die dem Hauptcharakter 

 entspricht. Dies folgt aus der Relation h = X fl- Teilt man diese 

 Summe in 3 Teile, entsprechend den 3 Arten von Darstellungen, so 

 erhält man 



A = Xfl + Xß + Xf y . 



In der dritten Summe sind die Glieder paarweise einander gleich , weil 

 inverse Charaktere denselben Grad haben. In der zweiten ist jede 

 einzelne der Zahlen /$ gerade. Daher ist die erste Summe gerade, 

 und da für den Hauptcharakter f = 1 ist, so muß sie aus mindestens 

 zwei Gliedern bestehen (und es muß außer /„ noch mindestens eine 

 der Zahlen /„ ungerade sein). 



Sind ß , v , p , • • ■ mehrere zu h teilerfremde Zahlen , so kann man 

 die Klassen und die Charaktere zählen . welche die Substitutionen 

 (R,R"), {R,R"), (R,R?),-- gleichzeitig zulassen. Ob aber diese 

 beiden Anzahlen übereinstimmen, haben wir nicht ergründen können. 

 Aus dem obigen Satze aber ergibt sich noch eine merkwürdige 

 Folgerung: 



Durchläuft u die p = (p{h) Zahlen, die zu h teilerfremd sind, so 

 sei p K die Anzahl der Substitutionen (R,R"), welche die A tc Klasse 

 von )ö zuläßt, und q u die Anzahl der Klassen, welche eine bestimmte 

 Substitution {R , R u ) zulassen. Dann ist X p x = X </„ die Anzahl der 

 Paare (A,/./), die man erhält, indem man jedesmal den Index A einer 

 der k Klassen mit der Zahl \x kombiniert, falls die A 1e Klasse die Sub- 

 stitution (R,R H ) zuläßt. 



Ebenso sei p[ die Anzahl der Substitutionen (R, R "), welche der 

 Charakter % <x) (iü) zuläßt, und q' u die Anzahl der Charaktere, welche 

 die Substitution (R,R H ) zulassen. Dann ist ebenso X p, = X q^. 



Nach jenem Satze ist nun '/„ = </„' und mithin 2 p x = X p' k . Da 

 die A' e Klasse p K Substitutionen (R , R") zuläßt, so ist diese Klasse mit 



— verschiedenen Klassen konjugiert, und iede dieser Klassen läßt 



ebenfalls », Substitutionen zu. Her auf diese Klassen bezügliche 



p, 



