Frobenius ii. I. Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 203 



Teil der Summe 5 p x ist daher gleich p, = p. Mithin ist die 



ganze Summe gleich pl, wo l die Anzahl der nicht konjugierten Klassen 

 bezeichnet. Ebenso ist 2 p' x = pl', wo /' die Anzahl der nicht kon- 

 jugierten Charaktere ist. Folglich ist / = /'. 



Die Anzahl der nicht konjugierten Klassen ist gleich der Anzahl der 

 nicht konjugierten Charaktere. 



Diese Anzahl ist gleich der Anzald der verschiedenen im Körper 

 der rationalen Zahlen irreduzibeln Darstellungen der Gruppe. 



§7- 

 Die bisher erhaltenen Resultate lassen sich verallgemeinern, in- 

 dem man voraussetzt, es gibt eine bilineare Form G, die von den 

 Substitutionen der Gruppe £ in sich transformiert wird , mit konstanten 

 Faktoren multipliziert. Die in den Gleichungen 



(i.) R'GR = r lR G 



auftretenden Konstanten v\ R haben die Eigenschaft 



(2.) Isis = '»Jjmp 



bilden also einen linearen Charakter von §. Ist die betrachtete Dar- 

 stellung irreduzibel, so muß die Determinante von G von Null ver- 

 schieden sein, und es kann, wenn der lineare Charakter -/\ H = y(R) 

 gegeben ist, nicht mehr als eine bilineare Form G geben, die den 

 Bedingungen (i.) genügt. Diese Form ist demnach entweder sym- 

 metrisch oder alternierend. Auch hier setzen wir, den drei möglichen 

 Fällen entsprechend c = 1, —1 oder 0, so daß G' = cG ist. 



Ist die Form G symmetrisch , so kann sie in die Hauptform trans- 

 formiert werden. Dann ist 



(3-) R'B = RR' = r lji E, 



und die Substitution E+ F führt dann die Matrix R in eine Matrix S 

 über, die der Bedingung 



(4.) s — n R s <> 



genügt. Demnach ist , S eine reelle Matrix. 



Kn» 



Ist 7,(i2) der Charakter der betrachteten Darstellung, so ist ~j= %,(R) 

 reell und demnach 



(5-) x(«) = ^x(«- 1 )- 



Wenn umgekehrt diese Bedingung erfüllt ist, so gibt es eine (und 

 nur eine) Form G, die der Bedingung (1.) genügt. Ist diese Form G 



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