Frobenius u. I.Schur: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 205 



Daher ist zunächst X„ = und A,', = 0, und demnach ist sowohl 

 X wie A" reduzibel, außer wenn r = n = n' ist. Ferner aber ist 

 A',.,. = A,',.. Da X„ = 0, so ist A rr ein Bestandteil von X, und folg- 

 lich haben die beiden Darstellungen einen Bestandteil des Grades r 

 gemeinsam. 



Ist die Gruppen matrix X= ~Z,Rx K , so bilden die h Matrizen R 

 eine Darstellung der Gruppe £>. Ist .F eine dazu gehörige positive 

 IlERMiTEsche Form, so ist R'FR = F. Wenn die Substitutionen R 

 außerdem eine bilineare Form G von nicht verschwindender Deter- 

 minante in sich transformieren, so ist R'GR = G. Mithin ist G~*R'~ l G 

 = R und F~ l R'~ l F = R , und demnach sind die beiden konjugiert 

 komplexen Darstellungen R und R äquivalent. Ihre irreduzibeln Be- 

 standteile müssen folglich übereinstimmen, und da für die Bestand- 

 teile von R a die konjugiert komplexen zu denen von R genommen 

 werden können, so muß jeder irreduzible Bestandteil der dritten Art 

 ebenso oft vorkommen wie der konjugiert komplexe. Sei S eine 

 irreduzible Darstellung von £), die in der gegebenen Darstellung 

 (durch die Matrizen R) gmnl vorkommt. Ist also <S von der dritten 

 Art, so kommt S darin auch gma\ vor. Ferner aber gilt der Satz: 



Die Zahl g ist gerade,, erstens wenn G symmetrisch und S von der 

 zweiten Art istj zweitens wenn G alternierend und S von der ersten Art ist. 



Sei die Form G symmetrisch , sei die Darstellung R vom Grade n, 

 die darin genau gmnX enthaltene irreduzible Darstellung <S vom Grade/. 

 Dann ist R einer zerfallenden Darstellung 



(o Q) 



äquivalent, wo P eine Darstellung des Grades fg ist, die in g mit <S 

 äquivalente Darstellungen zerfällt und Q eine Darstellung des Grades 

 n—fg, die S nicht enthält. Ist 



(c3 



die quadratische Invariante, in die G für diese zerfallende Darstellung 

 übergegangen ist, so ist 



[cd) (o q) = [o er) [c dj- 



Mithin ist 



BQ =P'~'B. 



Nun ist die Darstellung P'~ l der Darstellung P äquivalent, und folg- 

 lich, wenn S von der zweiten Art ist, auch der Darstellung P. Daher 

 haben die beiden Darstellungen Q und P'~' keinen Bestandteil gemein- 

 sam. Jene Gleichung kann daher nach dem oben entwickelten Prinzip 



