206 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



niclit anders bestehen, als wenn B = ist. Ebenso ist C = 0. Da- 

 her ist A eine quadratische Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante, die der Gleichung P'AP = A zufolge von den Substitutionen 

 P in sich transformiert wird. 



Die Darstellung P hat die Gestalt 



P = 



Entsprechend sei 



A = {L+) (a,ß = l,2,.-.<7), 



wo L a ß eine Matrix des Grades / bezeichnet. Dann ist 



S'LasS = La2>- 



Da die Darstellung S irreduzibel ist, so gibt es, von einem konstanten 

 Faktor abgesehen, nur eine bilineare Form 



M ={>!,,:,) (y,»= 1,2, ■■•/), 



die von den Substitutionen S in sich transformiert wird, und da S 

 von der zweiten Art ist , so ist M = - M' alternierend. Demnach ist 

 L aZ = l aEl M. Da aber die Matrix A symmetrisch ist, so ist L ?a = L' aS> 

 und mithin l ßa = -l a ß- Nach einem bekannten Satze von Kronecker 

 ist die Determinante von L 



\L\ = \lan\ f \ '"-,-!'"• 

 Daher ist die alternierende Determinante g ten Grades | l a5 | von Null ver- 

 schieden, und folglich ist g eine gerade Zahl. Genau in derselben 

 Art kann man den zweiten Teil des obigen Satzes beweisen. 



Nunmehr läßt sich der im § i erhaltene Satz auf reduzible Gruppen 

 ausdehnen: 



Jede endliche Gruppe orthogonaler Substitutionen ist einer reellen (ortho- 

 gonalen) Gruppe äquivalent. 



Die Substitutionen R der Gruppe <S seien orthogonal, oder all- 

 gemeiner, sie mögen eine quadratische Form G von nicht verschwin- 

 dender Determinante in sich transformieren. Sei S eine irreduzible 

 Darstellung von §, die genau g mal in R enthalten ist. Dann kann S, 

 wenn die Darstellung von der ersten Art ist, als reell vorausgesetzt 

 werden. Ist sie von der zweiten Art, so ist <S mit S äquivalent und 

 g gerade. Daher können diese irreduzibelen Bestandteile von R SO 

 gewählt werden, daß sie sieh zu Paaren konjugiert komplexer 



~ \0 S ) \ U-iV) 



