Frübenius u. I. Schür: Die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. 207 



zusammenfassen lassen. Dasselbe gilt von den Darstellungen der 

 dritten Art. Setzt man nun entsprechend 



[iE E ) ' 

 so wird 



™= (,'.--: 



reell. Wählt man <S so, daß S' S Q = E ist, so ist auch T'T = E. 

 Da ebenfalls H'H — E ist, so hat auch H~ l TH dieselbe Eigenschaft, 

 ist also, weil es außerdem reell ist, orthogonal. 



In der nämlichen Weise läßt sich der letzte Satz des § 2 aus- 

 dehnen. 



Jede endliche Gruppe von Substitutionen, die eine alternierende Form 

 von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren, ist einer 

 Gruppe äquivalent, für welche die HERMiTESche Form gleich E und die 

 alli filierende gleich J wird. 



Wir wollen diese Form der Gruppe ihre Normalform nennen. 

 Wir denken uns die Darstellung so transformiert, daß sie in lauter 

 Lrreduzible Teile S zerfällt. Jede dieser irreduziblen Darstellungen S 

 können wir als unitär annehmen, also so, daß S'S = Eist, oder daß 

 die zugehörige IiERMiTEsche Form die Hauptform E ist. Ferner können 

 wir von den Darstellungen der zweiten Art nach § 2 annehmen, daß 

 sie bereits die Normalform besitzen. Endlich können wir voraussetzen, 

 daß die Darstellungen der dritten Art paarweise konjugiert komplex, 

 und die der ersten Art reell sind. Wir können dann jedes Paar konju- 

 giert komplexer Darstellungen der dritten Art zu einer Darstellung 



Ho*.) 



vereinigen, und ebenso können wir nach dem zweiten Teile des obigen 

 Satzes mit den Darstellungen der ersten Art verfahren, nur daß dann 

 S u = S ist; für die Darstellungen der zweiten Art setzen wir T= S. 

 Nun ist 



(S o\ _ (So 0W0 -E\ 



v S ) ~ [ S) \E 



JT= T J 



T'JT= J. 



Auf diese Weise zerfällt die Darstellung in Bestandteile r I\,T.,,'i\. 

 welche die Formen J 1 ,J a ,J i ,... in sieh transformieren mögen. Die 

 zerlegbare Form 



