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Über die Äquivalenz der Gruppen linearer Sub- 

 stitutionen. 



Von Gr. Frobenius und I. Schür. 



Üän System © von endlich oder unendlich vielen linearen homogenen 

 Substitutionen in n Variabeln soll im folgenden als eine Gruppe be- 

 zeichnet werden, wenn das Produkt von je zwei Substitutionen von 

 © wieder in © enthalten ist. Es wird also nicht verlangt, daß die 

 Determinanten der Substitutionen von Null verschieden seien, und 

 auch nicht, daß in jeder Gruppe ein Einheitselement E vorkommen 

 soll, welches für jede Substitution A der Gruppe den Gleichungen 

 AE = EA = A genügt. 



Geht © durch eine lineare Transformation der Variabein (von 

 nicht verschwindender Determinante) in ©' über, so nennen wir © 

 und (SV iii/uivalente Systeme. 



Jedem Element R der Gruppe © möge eine (und nur eine) Sub- 

 stitution H K einer zweiten Gruppe § entsprechen, und jeder Substi- 

 tution von § ebie oder mehrere Substitutionen von ©. Wenn dann 

 für je zwei Substitutionen R und <S von © die Gleichung 



IIrIIs = Hu,* 

 besteht, so sagen wir, die Gruppe .sjS sei der Gruppe © homomorpli. 

 Entspricht insbesondere jeder Substitution von £> nur ei ne Substitution 

 von ©, so bezeichnet man © und .s3 als isomorphe Gruppen. 



Ein System von Substitutionen © heißt reduzibel, wenn sich kein 

 ihm äquivalentes System ©' angeben läßt, worin die Koeffizienten- 

 matrix jeder Substitution die Gestalt 



Ii.-it . wo die den verschiedenen Substitutionen von ©' entsprechenden 

 Matrizen R denselben Grad besitzen. 



In einer vor kurzem erschienenen Publikation (Proceedings ofthe 

 London Mathematical Society, Ser. 2, Bd. 3. 1905, S. 430) hat Hr. 

 Bühnside folgenden Satz aufgestellt, der für die Theorie der Gruppen 

 linearer Substitutionen von fundamentaler Bedeutung ist: 



