21" Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



«Eine Gruppe von linearen Substitutionen A = (o^) in n Variabein 

 ist stets und nur dann irreduzibel, wenn sich keine lineare homogene 

 Relation 



mit konstanten Koeffizienten k ic , angeben läßt, die durch die Koeffi- 

 zienten a a& jeder Substitution A der Gruppe befriedigt wird.« 



In der vorliegenden Arbeit soll eine wichtige Verallgemeinerung 

 des BuRNSiDESchen Satzes mitgeteilt werden : 



I. Es seieji 



31, 33, (E, ••• 



/• irreduzMe Gruppen linearer Substitutionen, die einer gegebenen Gruppe 0>S 

 homomorph sind, und es mögen dem Element R von © in den Gruppen 

 51 , 53 , (£,-•• die Substitutionen 



A = («„;) , B = (b,,) , C = ( c „) 



entsprechen. Sind dann nicht zwei der Gruppen %, 33, S, ••■ äquivalent, 

 so kann es keine lineare homogene Relation 



1 />•:„ ö„ 3 + - h y by& + X m, E c £ , + • • • = 



mit konstanten Koeffizienten k : . CI , /„.,, m r£ , ■•■ geben, die durch die Koeffi- 

 zienten a nl , & yS , c !r , ••• vonje r zusammengehörigen Substitutionen A, B, C, ■•■ 

 befriedigt wird. 



§ i- 

 Der besseren Übersicht wegen soll hier zunächst der Beweis des 

 BuKNsmESchen Satzes in etwas abgeänderter Gestalt mitgeteilt werden. 

 Besteht für die Koeffizienten r/„ 3 jeder Substitution (Matrix) A der 

 irreduziblen Gruppe © die Relation 

 (i.) 5 ^«3 = 0, 



so bezeichne man die Matrix (k ll2 ) mit K. Die Gleichung (i.) besagt 

 dann, daß die Spur der Matrix KA gleich Null ist, also wenn man 

 die Spur einer Matrix P mit yAP) bezeichnet, 



(2.) X (A',4) = 0. 



Es seien nun unter den verschiedenen Matrizen K, die diesen Bedin- 

 gungen genügen, im ganzen s linear unabhängig, etwa Ä,, R 2 , •••, K,. 

 Dann muß sich jede Matrix K, für welche die Gleichungen (2.) bestehen, 

 als lineare homogene Verbindung von 7i',, Iü, ■••, Ä~ darstellen lassen. 

 Denkt man sich nun das Element A von ® festgehalten und versteht 

 unter A' eine beliebige andere Substitution von ©, so wird, weil .1.1' 

 ebenfalls in (Ü enthalten ist, auch 



X (KAA') = 0. 



