Fkobenius u. I. Schur: Aequivalenz der Gruppen linearer Substitutionen. 211 



Daher besitzt die Matrix KA dieselbe Eigenschaft wie die Matrix K 



und muß daher die Form Xr T K r besitzen, wo die «Konstanten 



r i > r -2 > " " " r s wegen der Unabhängigkeit der Matrizen K x , K t , ■ • ■ K s völlig 

 bestimmte Werte haben. Speziell sei 



(3-) 

 Setzt man 



K,A = Xr„K 



(P = l,2,...,.). 



so vertreten die s Gleichungen (3.) die sn 2 Gleichungen 



(4-) Afiy a v* = ,lv*3- 



Man bezeichne nun die Matrix 



'•n ''12 ■ • • r u 

 r. n r ss • • • r & 



mit R und die 



1 r ti ■ ■ ■ r„ I 

 (rechteckige) Matrix 



ä5j *w...*w 



mit P„. Dann lassen sich die Gleichungen (4.) auch in der Form 



(5-) *U = Ab- 



schreiben. 



Wir benutzen nun folgenden Hilfssatz (Neue Begründung der Theorie 

 der Gruppencharaktere, § 2, Sitzungsberichte 1905, S. 406): 



»Bilden die Matrizen A des Grades n ein irreduzibles System ©, 

 und ist P eine von Null verschiedene Matrix mit s Zeilen und n Spalten, 

 welche die Eigenschaft besitzt, daß für jede Matrix A von © 



PA = RP 



wird, wo R eine gewisse Matrix s im Grades ist, so ist entweder das 

 durch die Matrizen R gebildete System SR reduzibel, oder es ist P eine 

 quadratische Matrix des Grades s= »von nicht verschwindender Determi- 

 nante. Dann sind wegen R = PAP"' die Systeme SR und © äquivalent.« 

 Für den Fall, daß die Matrizen R sämtlich gleich sind, besagl 

 dieser Satz, daß für die Substitutionen A eines irreduziblen Systems 

 eine Gleichung der Form 7M = nicht bestehen kann, ohne daß die 

 Matrix P gleich 1» wird. Ebenso kann auch keine von Null verschiedene 

 Matrix /' existieren, die den Gleichungen AP = genügt. 



