212 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



Es mögen nun zunächst in unserem Fall die Matrizen R = (r ) 

 eine irreduzible Gruppe SR bilden. Da die s Matrizen ÜT, , K 2 , ■ ■ ■ , K s 

 linear unabhängig sind, so können gewiß nicht alle n Matrizen P a 

 gleich sein. Nach unserem Hilfssatz ergibt sich daher aus den 

 Gleichungen (5.), daß SR eine der Gruppe © äquivalente Gruppe 

 sein muß. 



Bedeuten nun die Größen V irgendwelche s 2 Zahlen, die der 

 Bedingung genügen, daß die Determinante |ü | der Matrix V — (v,A 

 von Null verschieden ist, und setzt man 



K'=% v iT K r 



c-= 1 



und 



R' = VRV-i = {r' p ) , 



so erkennt man sofort, daß 



K' iT A = X r'^Kl 



wird. Daher kann in unserer Betrachtung die Gruppe R durch jede 

 ihr äquivalente Gruppe 9t' ersetzt werden. 



Wir können mithin auch annehmen, daß die Gruppe SR. falls 

 sie irreduzibel ist, mit der ihr äquivalenten Gruppe © übereinstimmt, 

 so daß R = A wird. Die Gleichungen (5.) erhalten dann die ein- 

 fachere Gestalt 



P a A = AP a , 



d. h. P a wird mit A vertauschbar. Nun muß jede Matrix P, die mit 

 allen Substitutionen einer irreduziblen Gruppe vertauschbar ist, die 

 Form kE besitzen, wo E die Einheitsmatrix und k eine Konstante 

 bedeutet. Es sei demnach P a = k a E; dann wird also 



wo <?g gleich 1 oder gleich wird, je nachdem p = (o oder p=^(o 

 ist. Da nun für jeden Wert von p 



Xk ( Aa aS = 

 sein soll, so erhalten wir die n Relationen 



(6.) 2 a i3 k 3 = 0. 



Das Bestehen dieser Relationen würde aber erfordern, daß die n Größen 

 k lt k a ,--k, gleich sind. Dann bezeichnet man die Matrix 



