Frobenius u. I. Schur: Aequivalenz der Gruppen linearer Substitutionen. 2 l i> 



mit F, so wird das System der Gleichungen (6.) identisch mit der 

 Gleichung AF=0, und folglich muß nach dem früher Gesagten 

 F = sein. 



Es sei nun die Gruppe 5K reduzibel. Da man 91 durch jede 

 äquivalente Gruppe ersetzen kann, so können wir ohne Beschränkung 

 der Allgemeinheit annehmen, daß jede der Matrizen R die Form 



R 



= « 



hat, wo die Matrizen S entweder Null sind oder eine irreduzible 

 Gruppe <B erzeugen. Ist nun etwa 



Sn S 12 ' ' ' *1( 1 

 ^21 ^22 ' ' * $2t 



Sf] S|» ' - - S U I 



so erhalten die t ersten der Gleichungen (3.) die Form 



K ; A = 2 .9^ä; ( p = 1 , 2, ■ • ., t). 



r= 1 



Sind nun die Größen s, nicht sämtlich gleich 0, so schließt man in 

 genau derselben Weise wie in dem zuerst behandelten Falle, wo wir 

 die Gruppe 9i selbst als irreduzibel voraussetzten , daß die t Matrizen 



(7.) K 1 ,K i ,---,K i 



gleich sein müßten. Dasselbe ergibt sich für den Fall, daß alle 

 Größen s„ verschwinden, direkt aus den Gleichungen 

 K X A = , IÜA = , • • ■, K,A — 0. 



Da nun die Matrizen (7.) linear unabhängig sein sollen, so werden 

 wir in jedem der betrachteten Fälle auf einen Widerspruch geführt. 



§2. 

 Wir wenden uns nun zu dem Beweis unseres Satzes I. Besteht 

 für die Gruppen 31 , 93 , (E , • • • eine Relation 



(3.) Xk lia a a ß + 'Xh y /i y ; : , + ^, m Y! c^-{ = 0, 



so bezeichne man die Matrizen 



(Kb) . &*) 1 («»•,) 

 mit K,L,M,--. Dann besagt die Gleichung (8.), daß die Summe 



der Spuren der Matrizen 



KA, LB, .Ver- 

 gleich Null sein soll, 



x (KA) + x(LB) + x (M (■)+■■■ =0. 



