214 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



Diese Gleichung müßte für jedes System von r Substitutionen 

 A , B , C, ••• bestellen, die einem Element R der Gruppe © entsprechen. 



Es mögen nun die Gleichungen (8.) genau .? linear unabhängige 

 Lösungen 



h%, $, mg,— ( f = l,2,--.») 



besitzen. Jede andere Lösung hat dann die Form 



Ist nun .R ein festes Element und iü' ein beliebiges Element von ©, 

 dem in den Gruppen 31, 33, (£,••■ die Substitutionen A',B',C',--- 

 entsprechen, so entspricht, da ja die Gruppen Sl , SS , (E , • • ■ der Gruppe ® 

 homomorph sein sollen, dem Element RR' von © das System der 

 Substitutionen AA' , BB' , CC , ■ ■ ■. Daher muß auch 

 X(KAA') + x(LBB') + X (MCC) + ■ ■ ■ = 

 sein. Hieraus folgt aber, daß die Matrizen 



KA, LB, MC,--- 

 dieselbe Eigenschaft besitzen wie die Matrizen K ', L , M , ••• selbst. 

 Daher müssen sich auch s 2 Größen r bestimmen lassen, so daß 



K { A =k r„ IC , L, B = £ ty L T , M, C = £ r„ M T , ■ • • 



wird. 



Es mögen nun die Matrizen R = {r ) die Gruppe SR erzeugen. 

 Man schließt dann wie in § i, daß man die Gruppe SR durch jede 

 ihr äquivalente Gruppe ersetzen kann, und daß es keine Beschränkung 

 der Allgemeinheit bedeutet, wenn wir SR als irreduzibel annehmen. 



Aus den Gleichungen 



KA = £ r„K, 



r= 1 



ergibt sich nun in genau derselben Weise wie früher, daß, wenn 

 die Matrizen K l . K 2 , ■■■ K, nicht sämtlich sind, die Gruppe ÜR der 

 Gruppe ?l äquivalent sein muß. Dasselbe uilt auch für die Gruppen 

 33, (£,•••. Da nun unter den Gruppen Sl, 33, S, ••■ nicht zwei äqui- 

 valent sein sollen, so kann SR höchstens einer unter diesen Gruppen 

 äquivalent sein. Es sei dies etwa die Gruppe 31. Dann muß also 



/- :0 , .l/=0.... 



