Frobenius u. I.Schur: Aequivalenz der Gruppen linearer Substitutionen. 215 



sein. Es ergibt sich aber dann, daß die Spur der Matrix AK. für jedes 

 Element A von 31 gleich wird. Da nun 31 irreduzibel ist, so muß 

 nach dem BusNSiDESchen Satze auch K i = sein. 



§3- 

 Der ebenbewiesene Satz I läßt interessante Folgerungen zu. Es 

 ergibt sich zunächst: 



IL Zwei Isomorphe irreduzible Gruppen 3( und 33 sind stets und nur 

 dann äquivalent } wenn je zwei einander entsprechende Substitutionen A und B 

 dieselbe Spur besitzen. 

 Denn ist etwa 



A = (a a3 ) , ,B = (V), 



so erhält man für die Spuren %(A) und y^B) von A und B 



x {A) = Za aa , x (B)=Xb w . 



•■■ 

 Ist daher 



X(A) = X (B), 



so besteht zwischen den Koeffizienten von je zwei einander entsprechen- 

 den Substitutionen der beiden Gruppen 31 und 33 eine lineare homogene 

 Relation. Dies ist aber nach Satz I nur möglich, wenn 31 und 33 äqui- 

 valent sind. Ist dies aber der Fall, so besteht bekanntlich stets die 

 Gleichung %{A) -— %(B). 



Diese Betrachtung läßt sich noch verallgemeinern. 



Es seien © und § zwei isomorphe Gruppen linearer Substitu- 

 tionen in m und n Variabein, die in der Beziehung zueinander stehen, 

 daß die Spuren von je zwei einander entsprechenden Substitutionen 

 G und H denselben Wert haben. 



Man bestimme dann zwei Matrizen P und Q der Grade m und n 

 von nicht verschwindenden Determinanten derart, daß 



G u ••• //„ •■• 



''.! G pi ■■■ G pe H ql H q% ■■■ II 



wird, WO die den verschiedenen Substitutionen G und H entsprechenden 

 Substitutionen G, x (bzw. H m ) entweder sämtlich sind oder aber, wenn 

 dies nicht der Fall ist, eine irreduzible Gruppe erzeugen. Es mögen 

 auf diese Weise der Gruppe © die irreduziblen Gruppen 



(9.) ®i,©»,---.®„ 



der Gruppe .vS die irreduziblen Gruppen 

 (10.) $nSs,-"i5 



