216 Sitzung tler physikalisch- mathematischen Classe v. 8. Februar 1906. 



entsprechen. Die Gruppen (9.) und (10.) sind dann offenbar der Gruppe © 

 homomorph. Gehört ferner zu G' die Substitution G., der Gruppe ©,. 

 und zu H' die Substitution H^ der Gruppe £*> so wird 



X(G') = X(G)= S x(&), 



x = 1 



x (ff) = x( J ff)=jxÄ). 



Wir behaupten nun, daß r = s sein muß und daß die Gruppen (10.) 

 in einer gewissen Reihenfolge den Gruppen (9.) äquivalent sein müssen. 



In der Tat seien unter den r + s Gruppen (9.) und (10.) im ganzen 

 k Gruppen. 



Wi.Wi, ••• Vtk 



vorhanden, von denen je zwei nicht einander äquivalent sind. Es 

 mögen der Gruppe 5R„ unter den Gruppen (9.) genau p x , unter den 

 Gruppen (10.) genau q„ äquivalent sein. Entspricht dann dem Ele- 

 ment G der Gruppe © in der ihr homomorphen Gruppe $R X die Sub- 

 stitution R x , so wird 



x(<?) = | p„ x (iy 



X (H) = X q., X (K) ■ 

 Da nun %(G) = %(H) sein soll, so erhalten wir die Relation 



Wäre nun für einen Index x nicht p H — q x = 0, so würde sich 

 für die Koeffizienten von je k zusammengehörigen Substitutionen der 

 k Gruppen SR, , SR 2 , • ■ • 5R A . eine Relation ergeben, die nach Satz I nicht 

 bestehen kann. Folglich muß stets p x = q K sein, und damit ist unsere 

 Behauptung bewiesen. 



Die über die Gruppen © und yS gemachten Annahmen treffen 

 jedenfalls zu, wenn § = © wird. Es ergibt sich auf diese Weise 

 in etwas allgemeinerer Form der zuerst von Hrn. Loewy (Transactions 

 of the American Mathematical Society, Bd. 4, 1903, S. 44) auf anderem 

 Wege bewiesene Satz: 



»Es sei © eine Gruppe linearer Substitutionen und ©' eine ihr 

 äquivalente Gruppe, in der die Koeffizientenmatrix jeder Substitution 

 die Form 



jGu •■• \ 

 <;,, <;,, ■•• 



Gn (?ss G33 ■ ■ ■ 



\G p i G p2 G p3 ■•■ G 



hat, wo die den verschiedenen Substitutionen von ©' entsprechenden 



Matrizen 67 u (für ein bestimmtes X) entweder sämtlich sind oder 



