S14 



Über das Nichtverschwinden einer Dirichletschen 



Reihe. 



Von Prof. Dr. Edmund Landau 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Schottky am 15. Februar 19U6 [s. oben S. 247].) 



Einleitung. 



Dei Dirichlets berühmtem Beweise des Satzes von der arithmetischen 

 Progression 1 besteht die Hauptschwierigkeit darin, zu zeigen, daß eine 

 gewisse unendliche Reihe mit reellen Gliedern eine von Nidl verschiedene 

 Summe besitzt. Es ist dies die Reihe 



, v %(!)_,_ %(2)_ 1 _%(3)_ L _^%(ft) 



1 1 *~— r- . . . — X , 



123 £? t n 



in welcher für (n , k) > 1 



%(n) = o 



ist und für (n , k) =1 %(/«) einen vom Hauptcharakter verschiedenen 

 reellen Charakter der Gruppe der zu 1c teilerfremden Restklassen modulo Je 

 bezeichnet. 2 



Dirichlet überwand jene Schwierigkeit auf dem Umwege über die 

 Theorie der Klassenzahl binärer quadratischer Formen. Es sind später 

 mehrere direkte Beweise 3 für das Nichtverschwinden der Reihe (1) ge- 

 funden worden; die einfachsten unter ihnen verdankt man den Herren 

 Mertens 4 und de la Vallee Poussin 5 . Diese beiden Beweise beruhen 



1 »Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren 

 erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich 

 viele Primzahlen enthält«, Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der 

 Wissenschaften ■/.» Berlin, 1837, 8.45 — 71; Werke, Band I, 1889. S. 313 — 342. 



2 (n,k) bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler von n und k. 



• Literaturangaben s. in meiner Arbeit »Über die Primzahlen einer arithmetischen 

 Progression«, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, 

 mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Bd. 112, Abt. 2 a, 1903. S. 509. 



4 »Eine asymptotische Aufgabe- , ebenda, Bd. 108, Abt. 2a, 1899, S. 32 — 37. 



r ' »Demonstration simplitic'e du tlieoreme de Dirichlet SUr la progression arith- 

 metique«, Memoires couronnes et autres memoires publies par l'Academie royale de 

 Belgique, Bd. 53. 1896. S. 24 — 29. 



