E.Landau: Über das Nichtverschwinden einer Dirichlet'schen Reihe. 315 



auf verschiedenen Grundlagen. Der MertensscIic ist völlig elementar 

 und gelangt durch geschicktes Rechnen mit endlichen Summen zum 

 Ziel. Der de la Vallee Poussraschc Beweis vermeidet Rechnungen 

 inst völlig, setzt jedoch die Elemente der Theorie der Funktionen 

 komplexen Argumentes als bekannt voraus. 



P^s ist mir nun gelungen, jeden dieser beiden Beweise noch zu 

 vereinfachen. Ich will in § i des Folgenden diejenige elementare Beweis- 

 ordnung angeben, auf welche mich das Studium der MertensscIicii 

 Abhandlung geführt hat; in § 2 werde ich — teilweise im Anschluß an 

 Herrn de la Vallee Poussin — den Satz mit funktionentheoretischen 

 Hilfsmitteln auf möglichst einfachem Wege beweisen. 



* 1. 

 Die zahlentheoretische Funktion %(n) hat die Eigenschaften: 



1. Es ist für (n , &)> 1 



%(») = 0, 

 für [n , Je) = 1 



yjti) = 1 oder — I. 



2. Es ist 



%{n, n 2 ) = %(«,) %(» 2 ). 



3. Es ist 



(2) %%(n) = o, 



falls n ein vollständiges Restsystem modulo k durchläuft. 

 Aus (2) ergibt sich, wenn 



X%(n) = S(t) 



gesetzl wird, daß für alle / 



(3) |SW|<*' 



ist. 



Bekannt Meli ist die unendliche Reihe 



i = 2 



n 



konvergent, wie aus der Gleichung 



x yjn) =x *(//) — S(/i — i) _^ s fi 1 ^\ S(u— 1) , S{v) 



„"_* n ,~ " „ = „' 



1 Übrigens ist |,S(*)|<*W. 



n n-\-i u »+i 



