E.Landau: Über das Nichtverschwinden einer Dirichlet'sehen Reihe. 319 

 dies liefert in Verbindung mit (9), daß für alle hinreichend großen x 



1 1 1 



— x* < Lx 2 + 1 6kx* 

 2 



ist. Dies ist unmöglich, falls 



L = o 



ist, da für alle hinreichend großen x 



1 



ist : daher ist 



was zu beweisen war. 



Die unendliche Reihe 



(15) 



x 2 > i6Z\t3 

 2 



i + o : 



§2. 



konvergiert, wie leicht einzusehen ist, für alle komplexen s, deren 

 reeller Teil >o ist, und sie stellt in dieser Halbebene eine reguläre 

 analytische Funktion von s dar. Auf Grund der bekannten Eigen- 

 schaften DiRiCHLETscher Reihen braucht hierzu 1 nur gezeigt zu werden, 

 daß die Reihe für reelle s>o konvergiert, und dies folgt aus 



v vAn) A S(n)-S(n-i) ^ /j__ 1 \ _ S(u-i ) S(v) 



„ = « ^ „ = * n ° »=„ [ '\n s (»H-i)7 m s («+i] 



in Verbindung mit (3). 



Ich betrachte nun diejenige analytische Funktion -^(s), welche 



für SR(s)>i durch die Gleichungen 



„ = I ^ B = 1 W B = 1 W " B = 1 W 



definiert ist. Bekanntlich hat die für ÜR(.s)>i durch die Reihe 



definierte Funktion im Punkte s = 1 einen Pol erster Ordnung und 

 ist für o < *< 1 regulär; dies folgt am einfachsten aus der für 5R(s) > 1 

 gültigen Identität 



1 Hr. de i.a Vaixee Poüssin (a.a.O. S. 8 — 11) beweist direkt auf einfache Weise, 

 daß die Reihe (15) in jedem endlichen innerhalb der Halbebene SR(s)>o gelegenen 

 Gebiete gleichmäßig konvergiert, also für SR(«)>o eine reguläre Funktion darstellt. 



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