Kronecker: Decomposition der Systeme von n2 Grössen. 480) 
der Componenten-Systeme in der bei (H) angegebenen Darstellung 
beliebig verändert. Nimmt man nun zuerst alle Systeme (d,,), alsdann 
2) . .. . N (r) . 
alle Systeme (ai (1)) und zuletzt die sämmtlichen Systeme (c,;) in 
irgend welcher Reihenfolge, so ergiebt sich als Resultat der Com- 
position ein System (nz), welches durch die (symbolische) Compositions- 
(m) = (8) (ED) (E) (EI) () -- 
definirt ist. Dabei bedeutet p eine positive ganze Zahl, nämlich die 
Anzahl der in der Decomposition des ursprünglichen Systems (N) 
gleichung: 
vorkommenden Systeme (4 (1)); die Zusammensetzung des Systems 
mn) mit den Systemen (c;) bewirkt, gemäss der im $. ı an die 
Gompositionsformeln geknüpften Bemerkung, nur eine Vertauschung 
von Verticalreihen des Systems (a (P)) nebst gewissen Zeichen- 
änderungen; das Resultat der Composition: 
CROIICHLCHL CHE 
ist also wiederum ein System, in welchem, wie in (“(P)). ein 
Element gleich p ist, während » Elemente gleich Eins und die 
übrigen »’ — n —ı Elemente gleich Null sind. Da nun auch in dem 
Diagonalsystem (d%) alle Elemente, mit Ausnahme des ersten d,, nur 
die Werthe Null oder Eins haben, so sind die Elemente des com- 
ponirten Systems (7;) lauter lineare ganzzahlige Functionen von d,, 
und eine Function dieser Elemente kann also nur eine Function von 
d°, sein. Nun ist aber offenbar d°, gleich der Determinante des 
Systems (n,), welche mit derjenigen des ursprünglichen Systems (n,.) 
übereinstimmt. Eine Function der n? Grössen n,;., welche ihren Werth 
behält, wenn man die Reihenfolge der Componenten-Systeme in der 
bei (H) angegebenen Decomposition beliebig verändert, kann also in 
der That nur eine Function der Determinante des Systems (n,) sein. 
8. 6. 
Nimmt man in der CGompositionsgleichung (E’) des 8. 3: 
(N) = (&i) (die) (8) 
für das System (n,) ein solches, dessen Determinante gleich Eins ist, 
so ist auch die Determinante des Systems (d;,) gleich Eins und also, 
da dieses ein Diagonalsystem ist: 
Ay,d. sone Ayn —ue 
