494 "Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 6. Juni. 
und denselben Werth annimmt, welche Substitution mit der Deter- 
minante A man auch anwenden mag. Denn ein Substitutionssystem 
mit der Determinante A ist nach $. 8 das Resultat der Composition 
eines Systems (Z,), «dessen Determinante gleich Eins ist, mit einem 
Diagonalsystem (d,,), in welchem: 
Den N Du (kon Seen) 
ist, und da die Invariante bei Anwendung der Substitution (Z,) un- 
geändert bleibt, so kann sie bei Anwendung irgend einer Substitution 
mit der Determinante A nur denjenigen Werth annehmen, den sie 
bei Anwendung der speciellen Substitution (d,.) erhält. Hieraus folgt 
von selbst, dass der Werth, welchen eine Invariante bei Anwendung 
irgend einer linearen Substitution annimmt, nur durch den Werth 
der Determinante des Substitutionssystems bedingt, im Übrigen aber 
von den Substitutionscoefficienten unabhängig ist. 
Dies zeigt sich auch deutlich, wenn man sich das System homo- 
gener Formen von vornherein mittels eines Substitutionssystems: 
(dy) (MR een 
dessen Elemente‘ » Unbestimmte« sind, transformirt denkt, so dass 
die Coefficienten der transformirten Formen zugleich Funetionen der 
ursprünglichen Coefficienten und der Unbestimmten ,. werden. Die 
Invarianten sind dann eben solche Funetionen und können einfach 
dadurch eharakterisirt werden, dass sie ihren Werth behalten sollen, 
wenn man das System der Unbestimmten %,, durch irgend ein trans- 
formirtes System (w;) ersetzt, welches durch die Relationen: 
Ur = > Ent (kn kan) 
i 
mit dem ursprünglichen System verbunden ist. Dabei ist das System 
der Substitutionscoefficienten (&,) einzig und allein der Bedingung 
unterworfen, dass dessen Determinante gleich Eins sein soll; zwischen 
den beiden Systemen (2), (u) besteht daher nur die Beziehung, 
dass :ihre Determinanten einander gleich sind. Man kann demnach 
die Invarianten des Systems homogener Formen von „ Variabeln auch 
dadurch vollständig charakterisiren, 
dass sie für alle »aequivalenten« Systeme (z,), d.h. für 
alle, welche dieselbe Determinante haben, invariant sind. 
Bezeichnet man die Variabeln der Formen mit: 
Uydlyye dm, 
so muss also z. B. jede Invariante bei zwei verschiedenen Trans- 
formationen: 
