Kronecker: Decomposition der Systeme von n? Grössen. 499 
Lässt man von den Bedingungen (L’) eine derjenigen fort, welche 
die Unveränderlichkeit bei den Transformationen: 
’ ’ 
a (h>ı1. Zr) 
für einen der Werthe r=3,4,...n betreffen, so genügt den übrig 
bleibenden Bedingungen eine Funetion der Coeffieienten, sobald sie 
nur eine Invariante desjenigen Formensystems ist, in welches das 
gegebene für x, = o übergeht. Eine solehe Funetion kann also zu- 
gleich eine beliebige Funetion der Coeffieienten derjenigen Glieder der 
Formen sein, welche x, allein enthalten. 
Lässt man endlich von den Bedingungen (1) die letzte auf die 
Transformation: 
’ I ’ / 
I le ln dh (aan) 
bezügliche weg, so genügen den übrig bleibenden Bedingungen trans- 
eendente Funetionen der Coeffieienten der Formen, welche die weg- 
gelassene Bedingung nicht erfüllen und also nicht Invarianten — in 
dem oben bezeichneten üblichen Sinne — sind. 
So stellt z. B. für eine positive quadratische Form: 
> (Os X; Ir (ee oh) 
i,k 
die Reihe: 
_— > r 4 - 
O,.m; m;. 
Ser 
wenn die Summation auf alle ganzzahligen (positiven und negativen) 
Werthe von m,,m,,... m, erstreckt wird, eine transcendente Function 
der Coeffieienten (, dar, welche bei den Transformationen (L/) der 
ersten beiden Kategorien, aber auch nur bei diesen, unverändert bleibt. 
Hiermit ist nachgewiesen, dass, abgesehen von dem besonderen 
Falle, wo das Formensystem nur aus einer einzigen quadratischen 
Form von 2 Variabeln besteht, die Unveränderliehkeit bei allen n + ı 
Transformationen (L') ein nothwendiges Erforderniss für die Inva- 
rianten des Formensystems bildet. 
Seun2r 
.. . } . o . 
Lässt man von den Bedingungen (M) im $. 10 die erste weg, 
so bleiben nur die (n— ı) Bedingungen der Unveränderlichkeit bei 
den Transformationen: 
eur, = (h=1,3,4,:.:n), 
‚ ’ / — 
= %, u, u U (k1, hRzrsr=3, 4). 
