Krox£cker: Decomposition der Systeme von n? Grössen. 505 
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a 1 En HL. , L.=4,, u, = %, 
[2 
r r F Wenn zB — 2, a), 
= tt, = 5 m = i 
und eine rationale Funetion der Coeffieienten ist, wie oben näher 
dargelegt worden, nur dann bei solchen Transformationen invariant, 
wenn sie zugleich — für unbestimmte Variable 2? — bei den Trans- 
formationen: 
/ 
! ’ ’ 
NE EL — Dir, 
4 [4 / ! 
= N 0, 
ihren Werth beibehält. Die nach $. 10 zur Charakterisirung der In- 
varianten ausreichende Unveränderlichkeit einer Funetion der Coefhi- 
eienten der Formen bei den Transformationen (M’) oder (N’) ist also 
eine nothwendige Folge der Unveränderlichkeit bei den Transfor- 
mationen (M”) oder (N”), sobald noch die Bedingung der Rationalität 
hinzutritt. 
Man kann dieses Resultat auch dahin formuliren, 
dass für rationale Invarianten die Bedingung der Unver- 
änderlichkeit bei denjenigen Transformationen genügt, welche 
aus den Transformationen (L). (M’), (N’) entstehen, wenn 
man darin ? = 1 setzt. 
Die Transformationen (1) redueiren sich, da die letzte derselben 
für = ı wegfällt, genau auf diejenigen, aus denen sich, wie ich 
schon in meiner Mittheilung vom ı5. October 1866' angegeben habe, 
jede Transformation mit ganzzahligen Substitutionscoeffieienten, deren 
Determinante gleich Eins ist, zusammensetzen lässt. Die suecessive 
Anwendung der dabei auftretenden n — ı Transformationen: 
f ne KR Br E93, r—1,r+1,...n; 
= ra I. (; ie ) 
—D.5 
führt zu allen Permutationen der Variabeln z,,,,... @,, verbunden 
mit gewissen Zeichenänderungen. Da man andrerseits mit Hülfe von 
je zwei Substitutionen — falls sie nicht so besonders ausgewählt sind, 
dass sie zu einer »besonderen« Gruppe gehören’ — durch deren 
wiederholte Anwendung zu jeder Permutation gelangt, so kann man 
jene n— ı Transformationen auf die mannigfachste Weise durch zwei 
Transformationen ersetzen. Ich habe dies aber in meiner Mittheilung 
vom 15. October 1866 und auch in dieser Arbeit deshalb nicht ge- 
than, weil es bei der Decomposition beliebiger Systeme von n° Grössen 
! Monatsberichte der Akademie vom October 1866, 
2 
® d.h. zu einer Gruppe, welche nicht alle z!Substitutionen enthält. 
