834 Sifzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 24. October. 
ist durch beliebige n + ı dieser Elemente bestimmt, enthält alle 
linearen Mannigfaltiekeiten |M,|,|M,|....,|M,_,|; welche durch be- 
fo) Oo I 2 n—I S 
jiebige 2,3,...,n ihrer Elemente bestimmt sind, und kann mittels 
einfach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten | M,| eonstruirt werden. Nahe- 
liegende Beispiele von ein-, zwei- und dreifach unendlichen linearen 
Mannigfaltigkeiten bieten uns die Grundgebilde der neueren Geometrie, 
insbesondere die Ebenenbüschel, Bündel und Räume. Ein Ebenen- 
büschel «% besteht aus den o0'Ebenen einer Geraden v und ist durch 
je zwei derselben bestimmt; ein Bündel 5 enthält die oo°Ebenen 
eines Punktes S und ist durch beliebige drei derselben bestimmt; 
ein Ebenen-Raum 3 ist dreifach ausgedehnt und durch beliebige 
vier seiner Ebenen bestimmt. Ein Bündel oder Raum enthält alle 
durch je zwei seiner Ebenen bestimmten Büschel und kann mittels 
soleher Büschel eonstruirt werden. Verbindet man nämlich von drei 
beliebigen Ebenen eines Bündels zwei durch einen Büschel und sodann 
die o0' Ebenen dieses Büschels mit der dritten Ebene durch &' neue 
Büschel, so enthalten die letzteren zusammen alle o©o°Ebenen des 
Bündels; verbindet man sodann diese ©o’Ebenen mit 'einer beliebi- 
gen anderen Ebene dureh 0° neue Büschel, so enthalten diese die 
oo? Ebenen eines Raumes; gäbe es ausserhalb dieses Raumes noch 
Ebenen, so könnte eine beliebige derselben zur Construction einer 
vierdimensionalen linearen Mannigfaltigkeit von Ebenen benutzt werden. 
Auf analoge Weise lassen sich aus anderen gleichartigen Ele- 
menten, z. B. aus Öurven oder Flächen, mehrfach ausgedehnte lineare 
Mannigfaltigkeiten |M,| aufbauen, sobald je zwei dieser Elemente 
durch eine einfach ausgedehnte lineare Mannigfaltigkeit | M,| derselben 
verbunden werden können. Dass eine so construirte |M,| jede durch zwei 
ihrer Elemente bestimmte |M,| enthält, bedarf selbstverständlich des Be- 
weises; für die Grundgebilde folgt es aus dem Axiom von der Ebene. — 
Wie können nun aber zwei projective Grundgebilde eine lineare Mannig- 
faltigkeit | M,| bestimmen? Offenbar dadurch, dass ein durch sie 
erzeugtes Gebilde diese Mannigfaltigkeit bestimmt und durch je zwei 
projective Grundgebilde derselben erzeugt wird. Beispielsweise er- 
zeugen zwei projective Strahlenbüschel in der Ebene i. A. einen Kegel- 
schnitt, dieser aber bestimmt eine lineare Mannigfaltigkeit von 00' pro- 
jeetiven Strahlenbüscheln, deren Mittelpunkte auf dem Kegelschnitte 
liegen und von denen je zwei ihn erzeugen. 
Wir setzen demnach fest: Wenn eine lineare Mannigfaltigkeit 
| M,| aus &©' projeetiven Grundgebilden besteht, so ist das Erzeugniss 
von je zweien dieser Grundgebilde allemal das nämliche. Die ©0' pro- 
jeetiven Ebenenbüschel x, welche zu zweien eine gegebene Regel- 
schaar oder Kegeltläche zweiter Ordnung erzeugen, bilden also eine 
