836 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 24. October. 
n + ı collineare Räume, zugleich aber, wenn den Parametern A, w,v 
gegebene Werthe ertheilt werden, n + 1 homologe Ebenen dieser 
Räume. Die Gleichung: 
n 
Zi (u; + AB; + uy; + vd) = 0 
repraesentirt die lineare Mannigfaltigkeit > ‚ welche durch dien + ı 
Räume bestimmt. ist; zugleich aber stellt sie einen beliebigen Raum 
von [>| dar, wenn den n + ı Parametern %,, %,...,x%, oder viel- 
mehr deren r» Verhältnissen gegebene Werthe beigelegt werden. Wird 
v=o oder v=v= o gesetzt, so repraesentirt dieselbe trilineare 
Gleichung eine n-fach ausgedehnte lineare Mannigfaltigkeit collinearer 
Bündel bez. projeetiver Ebenenbüschel. Ich benutze diese analytische 
Darstellung zur Ermittelung gewisser für unsere Mannigfaltigkeiten 
wichtiger Anzahlen und gelange dabei zu merkwürdigen, noch kaum 
discutirten Systemen algebraischer Gleichungen. 
Das Studium jener linearen Mannigfaltigkeiten und anderer von 
ihnen abhängiger wird bedeutend vereinfacht durch ein bemerkens- 
werthes paarweises Auftreten derselben. Die beiden Mannigfaltigkeiten 
eines Paares erzeugen sich gegenseitig, indem die Gebilde einer jeden 
von ihnen aus homologen Ebenen der Gebilde der anderen bestehen; 
die Eigenschaften der einen Mannigfaltigkeit des Paares sind dem- 
gemäss zugleich solche der anderen. Beispielsweise gehören die beiden 
Schaaren projeetiver Ebenenbüschel, welche ein beliebiges einschaliges 
Hyperboloid erzeugen, auf diese innige Art zusammen; ebenso die 
Mannigfaltigkeit |v,| der 00° projeetiven Ebenenbüschel, welche zu 
dreien eine gegebene eubische Raumeurve, die »OÖrdnungseurve« von 
|«,|, erzeugen, und die Reihe |S,| der &©' collinearen Bündel, deren 
homologe Ebenen in je einer Sehne der Raumeurve sich schneiden. Ist 
die eine Mannigfaltigkeit eines Paares n-fach unendlich, so besteht die 
andere aus projeetiven oder collinearen Gebilden |e,| von je co” Ebenen. 
Diese Gebilde |e,| sind Ebenenbüschel, Bündel oder Räume, wenn 
n = ı,2 bez. 3 ist; wird aber n > 3, so enthalten sie die 00% Ebenen 
des Raumes i. A. je oo"”3-mal. 
Meine Forschungsmethode ist im Wesentlichen diejenige der reinen 
Synthese. Von den einfach ausgedehnten linearen Mannigfaltigkeiten 
schreite ich stufenweise zu den mehrfach unendlichen fort, indem 
ich diese auf jenen der Reihe nach aufbaue. Besondere Beachtung 
schenke ich den Specialfällen und Ausartungen unserer Mannigfaltig- 
keiten, denn diejenigen der niederen gewinnen für die Theorie der 
höheren Mannigfaltigkeiten grosse Bedeutung. Auch die Grundgebilde 
einer linearen Mannigfaltigkeit können ausarten: nämlich räumliche 
