Reve: Über lineare Mannigfaltigkeiten projeetiver Ebenenbüschel u. s. w. 837 
Systeme von Ebenen können in Bündel, diese in Ebenenbüschel, 
letztere aber können in je eine Ebene ausarten. Die Orte ihrer so 
ausgearteten Gebilde sind für die Mannigfaltigkeit selbst sehr wichtig. 
Beispielsweise liegen die Doppelpunkte der ausgearteten Räume einer 
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durch welche >| völlig bestimmt ist. Es redueiren sich i. A. vier 
Räume eines Raumbüschels |S,| auf Bündel, 20 Räume einer |3,| auf 
Ebenenbüschel und 20 Räume einer |, 
i. A. auf einer Raumeurve sechster Ordnung, der »Kerneurve«, 
auf je eine Ebene; die Doppel- 
punkte der einfach ausgearteten Räume einer 4 liegen i. A. auf 
einer »Kernfläche« vierter Ordnung, die Axen der zweifach aus- 
gearteten Räume einer |8,| bilden einen biquadratischen Strahlen- 
complex, von einer 4]; aber redueiren sich ©©® Räume auf je eine 
Ebene, deren Ort eine Fläche vierter Classe ist. 
Eine lineare Mannigfaltigkeit |M,| enthält oo” + Jineare 
Mannigfaltigkeiten | M;|, wenn n>i>o ist. Besteht |M,| aus projee- 
tiven Grundgebilden, so rechnen wir deren Erzeugnisse sowie die- 
jenigen dieser | M, 
alle zu |M,|. Unsere Mannigfaltigkeiten liefern uns 
deshalb Erzeugnisse sehr verschiedener Art; namentlich treten bei 
ihnen auf: Gruppen von Punkten, Geraden oder Ebenen, Strahlen- 
flächen, Raumeurven und räumliche Ebenenbüschel, Flächen als Orte 
theils von Punkten theils von Ebenen, Congruenzen und Complexe 
gerader Linien, endlich Büschel, Bündel, Schaaren, Netze und höhere 
Systeme von Raumcurven oder Flächen. Selbstverständlich stehen die 
verschiedenartigen Raumgebilde, welche bei einer und derselben 
Mannigfaltigkeit vorkommen, zu einander in vielfachen und engen 
Beziehungen. Die Aufdeckung und Klarlegung dieser wechselseitigen 
Beziehungen betrachte ich als eine Hauptaufgabe meiner Untersuchung. 
Um auch hier einige Beispiele anzuführen, so erzeugen eine 
lineare Büschel-Mannigfaltigkeit |v,| und der mit ihr verbundene 
Raumbüschel |S, | i. A. einen tetraedralen quadratischen Strahleneomplex 
nebst dessen Haupttetraeder, ausserdem © eubische Ordnungseurven, 
welche dem Haupttetraeder umschrieben sind und lauter Complex- 
strahlen zu Sehnen haben, und co* Complexflächen zweiten Grades, 
die je ©o' Ordnungscurven enthalten; sie sind u. A. bestimmt durch 
irgend zwei collineare Räume von |S,| oder durch beliebige vier 
projeetive Büschel von |, |, ebenso aber durch zwei beliebige Ordnungs- 
eurven oder durch das Haupttetraeder und einen beliebigen Complex- 
strahl. — Zu einer linearen Bündel-Mannigfaltigkeit |; | und dem 
von ihr erzeugten »Raumbündel« |3,| rechnen wir 00° eubische 
Ordnungsflächen, co* eubische Ordnungscurven, 00° tetraedrale Com- 
plexe und Haupttetraeder, eine Kerneurve c° sechster Ordnung und 
deren o0' Doppelsehnen; letztere sind die Axen der ausgearteten Bündel 
