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Krosecker: Über eine summatorische Funetion. 873 
genügenden ganzen Zahlen m und n zu erstrecken sind. Nimmt man 
* r N . . . . 
ferner unter der Voraussetzung, dass öd nicht Null ist, die Relation (12) 
hinzu, so ergiebt sich die Gleichung: 
(14) BE) = >,/0) = > mt) + II’) Wü <mi < ‘) 
o<ni<sz 
m re 
und für den Falld = o stimmt die Gleichung (13) selbst mit dieser 
überein. 
. er; . 2 “ Wu . a . Qu » Kr 
Die Gleichung (14) definirt nun offenbar die Function I,fa) für 
alle reellen Grössen x in genauer Übereinstimmung mit jener Defi- 
nitionsgleichung (11), wenn darin x, = o genommen wird. Es zeigt 
sich also, dass die beiden mit (12) und (12) bezeichneten Relationen 
die Funetion > fix) in der That richtig und vollständig charakterisiren. 
% & 
Der Inhalt dieser beiden Relationen kann auch in folgenden 
Sätzen formulirt werden: 
wenn x kein ganzes Vielfaches von ?, und n! das dem Werthe 
von x nächste kleinere ganze Vielfache von Z ist, so ist 
die Differenz: 
N » I » 
Ir) - I fa) 
gleich —f(nt), d. h. also gleich dem halben Funetionswerthe 
von f für das unter dem Argumente « zunächst liegende 
ganze Vielfache von 1; aber die Differenz: 
>fe+) —- fo 
ist im Allgemeinen gleich dem Functionswerthe von f für das- 
jJenige zwischen @ und x + ? liegende Argument, welches 
ein ganzzahliges Vielfaches von Z/ ist, und nur in dem 
besonderen Falle, wo jedes der beiden Grenzargumente 
und &-+ 7 selbst, und daher keines der zwischen & und 
x + t liegenden Argumente, ein ganzzahliges Vielfaches von 
t ist, gleich: 
= (Sa) + fa + 9), 
d. h. gleich dem arithmetischen Mittel der Funetionswerthe 
für die beiden Grenzargümente. 
Für die hierdurch vollständig charakterisirte 
»summatorische Function « >= a) 
I 
