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Zur Theorie der ABEL'schen Functionen. 



Von L. Fuchs. 



JUie Abhängigkeit der Periodicitätsmodulii des Integrals einer r.ationa- 

 len Function des Ortes in einer RiKMANN'schen Fläche sowohl von den 

 im Integranden als anch von den in den Cbefficienten der die Riemann- 

 sche Fläche definirenden algebraischen Grundgleichung kann in durch- 

 greifender Weise nur durch das Studium der Dift'erentialgleichungen 

 erkannt werden, welchen die Periodicitätsmoduln als Functionen dieser 

 Parameter genügen. Ich habe' nachgewiesen, dass diese Differential- 

 gleichungen linear sind, und dass ihre Coefficienten die veränderlichen 

 Parameter in demselben Rationalitätsbereiche enthalten wie der Inte- 

 grand und die Coefficienten der Grundgleichung. Für die hyi^er- 

 elliptischen Integrale habe ich bereits" diese Differentialgleichungen 

 in expliciter Form zur Darstellung gebracht, und für die allgemeinen 

 ABEL'schen Integrale die Regeln skizzirt^, nach welchen sie herzu- 

 stellen sind. Es erscheint jedoch nicht überflüssig, für die wirkliche 

 Ausrechnung Methoden zu entwickeln, welche eine tiefere Einsicht 

 in die Beschaffenheit der Coefficienten der Differentialgleichungen ge- 

 währen, wodurch zu gleicher Zeit die Discussion der Lösungen der- 

 selben erleichtert ward. 



Im Folgenden werden drei verschiedene Verfahrungsarten zur 

 Lösung dieser Aufgabe versucht, von welchen die beiden ersteren sich 

 im Wesentlichen an diejenigen anschliessen , welche ich bereits für 

 die hyperelliptischen Integrale* gegeben habe, während die dritte mit 

 der Frage in Verbindung gebracht wird, unter welchen Umständen 

 das Product einer rationalen Function einer Variablen z und einer 

 algebraischen Function derselben Variablen zum vollständigen Diffe- 

 rentialquotienten nach z einer rationalen Function von [z , s) wird. 



Einer späteren Mittheilung sollen die aus den gefundenen Resul- 

 taten zu ziehenden Schlussfolgerungen vorbehalten bleiben. 



^ Crelle's Journal. Band 73, S. 324 ff. 



^ Crelle's Journal, Band 71, .S. 112 ff. 



^ Crelle's Journal, Band 73, a. a. O. 



* Crelle's Journal, Band 71, S. 107-108 und S. 112 ff. 



