Fuchs: Zur Tlieorie der AßEL'sclien Functionen. b09 



1. 



Es bedeute .s- einen Integranilen erster Gattung in einer eine alge- 

 braische Function der VariaT)len z repraesentirenden RiEsiANN'sclien 

 Fläche vom Geschlechte p. Wir wollen voraussetzen, dass nur ein- 

 fache und zu von einander verschiedenen endlichen Wertlien 



gehörige Verzweigungen auftreten. Überdies seien k, k, , . . . , ^"„.-i '^'oii 

 einander unahhtängige Grössen'. Den Integranden .s denken wir uns 

 dadurch bestimmt, dass derselbe für j;» — i willkürlich vorgeschriebene 

 von den Verzweigungswerthen unabhängige Grössen 



{a,,b,), (a,,lK),..., (a^,_,,b^_,) 

 verschwindet. 

 Ist 

 (I.) J=\sd:, 



so ist 



W ~J dk'- 



das Integral einer rationalen Function von c und s. Wir stellen uns 

 zunächst die Aufgabe, jx + i von ~ unabhängige Grössen ß„, ß^ , . . . , p^ 

 derart zu bestimmen, dass 



( 2 .) ,0„J+ ,0,^y + . . . + ,0„^,- = <R 



c^k fiA' 



eine algeT)raische Function A'on c also nach einem bekannten Satze von 



Abel und Liouville eine rationale Function von z und .« werde. 

 Die Function 9\ besitzt folgende Eigenschaften: 

 i) Sie wird unendlich der Ordnung 2u — i in c = /r und bleil)t 



an allen anderen Stellen (z , s) endlich, weil wir k, , k, , . . . , k„._, als 



von k unabhängig vorausgesetzt hal)en. 



2) Sie darf in der für die Umgebung von z = k gültigen Eint- 

 wickelung keine ganzzahligen negativen Potenzen von c — k enthalten, 



da solche Potenzen auch nicht in der Entwickelung von -7—— auttreten 



können. 



3) -^ — muss für (r/, , li,) , . . . , {<'j,_j, b^,-,) verschwinden. 



Die Bedingung i) bewirkt, dass 9\ eine Anzahl 2fa — p willkürlicher 

 Constanten enthält". Von diesen tritt eine additiv auf. Für die 2u — p — i 



' Vergl. Crelle"s Journal, Band 73, S. 325 — 326. 



^ Nach einem allgemeinen Satze von Riemann, AuEi/sclie Functionen § 5, Crei.le"s 

 Journal, Band 54, .S. 122. 



Sitzunsrsbei-ichte 1897. .')4 



