FrcHs: Zur Theorie der ABKi.'schen Functionen. 611 



die Periodicitätsmoduln des Integrales ^, , so ist die Determinante 



(6-) ^ = \p>..^ (!::::::::;:) 



von Null verschieden, weil sonst 2p von c unablicängige Grössen 

 C, , C, , . . . , C,^ gefunden werden können der Beschaffenheit, dass 



c,p,,^ + ap,„ + . . . + f;,p,,.„ = o , (. = 1,2,..., 2,) 



was zur Folge hätte, dass 



eine rationale Function von (:: , s) würde. Da A von Null verschieden 

 ist, so ergiebt sich, dass jedes nicht logarithniisch unendlich werdende 

 Integral Cl von (c , s) sich in der Form 



(7-) n = C,^, + ... + CJ,^+m{z.s) 



bringen lässt, wo die Grö.s.sen C von z unabhängig sind und 9i(~,.s) 

 eine rationale Function von (c , s) ist. Demnach ist auch im Allge- 

 meinen O darstellbar in der Form 



wo C„,C,, ..., C',^,_, von z unaT)hängig sind. Die Coefficienten C,,C^, ... C,^ 

 in Gleichung {7.) oder C^ , C, , . . . , C3^_j in (8.) lassen sich algebraisch 



aus den in 1^ , -t^ auftretenden Constanten bestimmen'. 



Für (8.) ergiebt die Multi2:»lication mit t^jj auf ])eiden Seiten der 

 Gleichung, wenn wir die Summe der Residuen des Productes ^-j- ^-— . 



(9.) 2R-8FäF = ^^^"' 



setzen, 



(10.) X^'^Mg^") = (>^,o)C + (A, i)C, + ...+(X.2p—i)C\,_, 



(>. = o , I , . . . , 2;; — I ) , 



da die Summe der Residuen einer rationalen Function von (~ , s) gleich 

 Null ist. 



Sind die am Anfange dieser Nummer gemachten Voraussetzungen 



erfüllt, so wird ts-t- t^vt nur in z = k unendlich. Es ist demnach 

 {g\) (Afx) = Res g^ -gp (tür z = k). 



' Vergl. hierüber Crelle's Journnl. Band 73, S. 328— 329; Humbfet, Aotn Mathe- 

 inatica, t. X, p.281; Appel et Goursat. a.a.O. 



