FrcHs: Zur Theurie der AnKi.'schen Functionen. 617 



Diese Gleicliung ist also die Differentialgleichung, welcher 

 die Periodicitätsmoduln der AßEL'schen Integrale erster 

 Gattung genügen. 



Eine dritte Methode zur Bestimmung der Dift'erentialgleiclmngen 

 der Periodicitätsmoduln, welche wir hier noch geben wollen, zeichnet 

 sich vor den beiden Vorhergehenden dadurch aus, dass wir die 

 beschränkenden Voraussetzungen, die wir am Anfange der 

 Nr. I gemacht, fallen lassen können. Ferner können wir als 

 unabhängige Variable, wovon wir die Periodicitätsmoduln al)hängen 

 lassen, nicht bloss einen Verzweigungspunkt der Riemann- 

 schen Fläche, sondern einen beliebigen Parameter wählen, 

 welcher in den Coefficienten der zwischen c und .< lieste- 

 henden Gleichung auftritt und von welchem die hierzu ge- 

 liörige Classe algebraischer Functionen wesentlich abhängt. 



Sei wiederum .« ein Integrand erster Gattung und die Gleiclnuig 

 zwischen z und c«; 



(I.) Fiz,s) = o 



vom Grade w in s. 



Sei ^ ein wesentlich in den Coefficienten dieser Gleichung ent- 

 haltener Parameter, so ist 



(2.) 7^ = Ä„ + a,.v+. . . + a,^_,.y'" ', 



ÖZ 



(3-) 



3« . . . _ 



wo Ä^ , a, , . . . , :t,^_, , ;S„ , ,5, , . . . , /3„_i rationale Functionen von c be- 

 deuten, welche auf Viekannte Weise hergestellt werden können. 



Durch wiederholte Diflerentiation der Gleichung (2.) nach z und 

 Anwendung derselben Gleichung, sowie durch Reduction der höheren 

 Potenzen vermittelst der Gleichung (i.) ergiebt sich 



(4-) ^ = «xo + «'> ■•'<■+••• +''>„-,'^'" , 



wo a>o , . . . , «>„_! rationale Functionen von z sind. 



Ebenso ergiebt sich durch Differentiation der Gleichiiug (3.) nach ^ 



(5-) ^ = ,Cfe + ,0/, .* + . . . +,to ,,,,_, *'^ ', 



wo /3fo , /3,j , . . . , /3, „_, rationale Functionen von c sind. 



Sitzungsberichte 1897. hb 



