Fuchs: Zur Theorie der AuKL'.sclien Functionen. nl9 



der Differentialquotient einer rationalen Function von 

 (c , ^'l sein. 



Die notliwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass eine 

 rationale Function von (~, s) G(c, s) der Differentialquotient einer ratio- 

 nalen Function von {z , s) ist, sind die folgenden': 



1 . Die Residuen von G {: , s) sind sämmtlich Null. 



2. Ist i^j , <^3 , . . . , ^j^j irgend ein Fundamentalsystein von Abel- 

 sehen Integralen, so besteht die Gleichung 



Z Res ^,„ G(: . s) ^ o. (m = i , 2 , — 2i>) 



Die Bedingmiijen unter i. sind für G(: . s) = S von sell)st erfüllt. 



Denn da t^—j nur da unendlich ist, wo s unendlich wird, also nur in 



den Verzweigungsstellen , und in den für die in der Umgeljung derselben 

 gültigen Entwickelungen negative Potenzen nur mit gebrochenen Ex- 

 ponenten enthält, und weil die Residuen der Ableitungen rationaler 

 Functionen von {z , s) verschwinden müssen , so ex'giebt die Congruenz 



^, = P,.s, fOL(8.)] 



dass auch die Residuen von P/.s, folglich auch die von 6' verschwinden. 

 Es verbleiben also nur die Bedingungsgieiehungen 



(12.) ^ Res -S^„, = Z Res [AP„+ . . . + lo,,,P,p]si„ = o, 



(für in = l. 2 2p) 



welche 2jj lineare homogene Gleichungen für die 2j) + i Unbekannten 

 ßa, . . . , jo^p liefern. 



Nachdem wir die Verhältnisse der Grössen /3 aus diesen Gleichungen 

 bestimmt haben, ergiebt die Integration der Gleichung (9.) über einen 

 beliebigen Querschnitt die Differentialgleichung 



(n) io,n + io,^-\-...-\-io,j,j— = o 



der Periodicitätsmoduln der ABEL"sclien Integrale erster Gattung als 

 Functionen von ^. 



6. 



Die Ordnung der Differentialgleichung (II) der Periodicitätsmoduln 

 von J kann niedriger als 2jj sein. Wenn nämlich schon fx + i {fx < ip) 

 von c unabhängige Grössen /S^ , /Sj, . . . , /S„ sich so bestimmen lassen, 

 dass 



Vergl. HioiBERT, a. a. O. 



