Planck: Zur Hypothese der Quantenemission. 729 



Aus diesem Werte der Wahrscheinlichkeit für die stationäre Energie- 

 verteilung auf eine große Anzahl Oszillatoren läßt sich nun die En- 

 tropie S des Oszillatorensystems berechnen, wenn man den allge- 

 meinen Ausdruck der Entropie für eine beliebige Energieverteilung 

 kennt. Nach Boltzmann' können wir für eine ganz beliebige Energie- 

 verteilung schreiben : 



S = -Nk^P„\ogP,.. (23) 







Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem BoLxzMANNSchen, abgesehen 

 von einer belanglosen additiven Konstanten, erstens durch den univer- 

 sellen Faktor k, der daher rührt, daß Boltzmann nicht mit den wirk- 

 lichen Elementen (Molekülen), sondern stets nur mit den Gramm- 

 elementen rechnete, zweitens aber dadurch, daß hier das Elementar- 

 gebiet, auf welches sich die Wahrscheinlichkeit P„ bezieht, nämlich das 

 Energieintervall zwischen ns und {n + l)e , ein endliches ist. Dieser 

 für die Quantentheorie cliarakteristische Umstand ist dadurch bedingt, 

 daß der stetig veränderliche Wert von p, welcher die Lage eines Zu- 

 standspunktes innerhalb eines solchen Elementargebietes angibt, keiner- 

 lei Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen unterworfen, sondern durch die 

 Gleichung (4) für jede Zeit vollkommen bestimmt ist. Denn durch die 

 dem Zufall unterworfenen Emissionen werden nur die ganzen Zahlen n, 

 nicht aber die Größen p beeinflußt. 



Bevor wir den BoltzmannscIicu Ausdruck (23) der Entropie hier 

 benutzen, ist noch der Nachweis zu liefern, daß er mit den hier ab- 

 geleiteten Werten (21) der Wahrscheinlichkeit für die stationäre Energie- 

 verteilung verträglich ist, d. h. daß unter allen bei den angenommenen 

 physikalischen Bedingungen möglichen Ausdrücken von P„ gerade der 

 in (21) gegebene die Entropie zu einem Maximum macht. 



Durch Variation von (23) erhalten wir: 



dS = = '^{\ogP„ + \)dP. (24) 







Dabei ist nacli (22), durch Variation: 



= 2^^,, ' (25) 



und nach (15), durch Variation: 



= A- V \{ns + p)äRn.Jp , 



= A' ^ n£ • d j R„,,dp + iV j p • 6' ^ R„.,dp . 



' L. Boltzmann, Vorlesungen über Ga.stlieorie, S. 41, Leipzig (A. Bartli) 1896. 



