886 (iesaiiiintM'tzunfi; \<ini 'id. ( )i-t,(il)ei- 1911. 



7) y a F 



V u. d A 



Führt mau wieder F' und G' eiu, so folgt aus diesen partiellen 

 Difl'erentialgleichungen : 



dF=F' 



2VR(ix) 2VR.{X) 



,^ .^, / du dK \ udu. XdX 

 dG = {G'-h iJi) ,J_ --= 9^= + , , 



\2l/Ä(^l) 2VR{>C)J 2VN{ß) 2VR{K) 



und man erkennt hierin die EuLERSchen Additionstheoreme für die 

 elliptischen — die eigentlichen EuLERSchen Integrale. 



Es ist von Interesse, den Gedanken weiter zu verfolgen, obgleich 

 das nicht der Weg ist, den Jacobi zur Lösung des Problems einge- 

 schlagen hat'. Wenn man setzt: 



diJ. dK 



2VR{u) ' 2l/7?(A) 



so gehen die beiden partiellen Differentialgleichungen über in : 

 dF dF dG dG 



-^ h -TT — = O , -7, 1- -R i-fJ. — A = O . 



ät au af öu 



Dies zeigt, daß F eine Funktion von / — u ist, und daß sich G als 

 Summe dreier Funktionen darstellen läßt, von denen die eine nur 

 von /, die andre nur von u, die dritte nur von ( — u abhängt. Diese 

 Funktionen, die eine Variable oder, wenn man will, einen Parameter 

 weniger enthalten, sind zu bestimmen. Sie hängen eng mit den Jacobi- 

 schen Theta zusammen, deren richtige Definition sich bei dem Euler- 

 schen Problem ungezwungen ergibt. 



Es sei Ä</3<7. Damit X, Y,Z reell sind, und jj. — A positiv, 

 muß A auf das Intervall zwischen a, und /3, \j. auf das zwischen lo 

 und 7 beschränkt sein. Wir wählen den Anfangspunkt der Zeit so, 

 daß für ihn die Drehungsgeschwindigkeit des Körpers ihren kleinsten 

 Wert hat, d. h. so, daß jj. = ß wird für / = o. Es sei ip(ü) diejenige 

 F'unktion der Variabein v, die der Differentialgleichung (i-<|)'(i'))' = 

 ^('/'(*')) genügt und die für v = o den Wert ß annimmt. Dann ist 

 M = </)(/), VR(lJ^) = i<p'(t). 



Die Funktion cp{v) ist gerade, bei reellen Werten von v auf das 

 Intervall zwischen /8 und y beschränkt, ihre zweite Ableitung für 



' .Siir l;i rotatiou d'iin corp.s. Jacobi, Werke, Bd. 11. 



