Sciior iKV : Ülier die vier jAcom'schen Tliotn. ovi 



Über die vier JACOBischen Theta. 



Von F. SOHOTTKY. 



L/ie vier JACOBischen Theta sind reguläre Funktionen der Variabein 

 V' und des Moduls q, vorausgesetzt, daß man den absoluten Wert von (/ 

 kleiner als i annimmt. Eine davon ist ungerade, die drei andern sind 

 gerade. Sie sind reell für reelle Werte von v und positive von q. Sie 

 können, wenn man den Ausdruck in etwas erweitertem Sinne ge- 

 braucht, als doppelt-periodisch bezeichnet werden, und sie werden in- 

 einander übergeführt, wenn man v um halbe Perioden vermehrt. Der 

 genaue Satz ist dieser. Man setze q ^ e" und bilde den Ausdruck 

 p ^ irnr -\-nuii, in dem m und n entweder ganze oder Hälften ganzer 

 Zahlen bedeuten sollen. Dann ist, wenn A irgendeins der vier Theta 

 bezeichnet: 



A(V+p) = £ ^^-0(2') , 



wobei B wieder eins der vier Theta, und s eine vierte Wurzel der 

 Einheit "ist. Sind speziell m,n ganze Zahlen, ist also p eine ganze 

 Periode, so ist B = A und e = dt i . 



Es ist dies die erste Grundeigenschaft der vier Theta, die sich 

 unmittelbar darbietet, wenn man die Reihen als Exponentialreihen 

 schreibt. Wir wollen untersuchen, was aus ihr folgt. 



Man kann die halben Perioden in drei Gruppen teilen, eine erste, 

 eine zweite, eine dritte; in der Art, daß alle Halbjjerioden, die einer 

 und derselben Gruppe angehören, einander kongruent, d. h. nur um 

 ganze Perioden verschieden sind. Zu diesen drei (Gruppen (i), (2), (3), 

 über deren Reihenfolge zunächst nichts festgesetzt zu werden braucht, 

 tritt die Gruppe der ganzen Perioden, (o), hinzu. 



Die Summe zweier Halbperioden derselben Gruppe ist eine ganze 

 Periode, die Summe zweier, die zwei verschiedenen der drei Gruppen 

 (i) , (2) , (3) entnommen sind, gehört immer der dritten an. Wir drücken 

 das aus, indem wir schreiben: 



(OK) = (k) , (KK) = 0, {üA) = (//) , 



wobei Jc , Ä , fj. die Zahlen i , 2 , 3 in irgendwelcher Reihenfolge bedeuten. 



