898 üesainmtsit/.iina; vom 20. October 1911. 



Der Quotient zweier Theta 



A _ 

 ^ — % 



bleibt, den zugrunde gelegten Sätzen zufolge, entweder ungeändert, 

 wenn man v um eine ganze Periode p vermehrt, oder er geht in — % 

 über. Es handelt sich zuerst darum, das Vorzeichen in der Gleichung 



%{r-hp) = ±%{v) 



näher zu bestimmen. Ist auch ^p eine ganze Periode, so hat man: 

 X(?!-4-+j9) = ^%{v)\ daher mit demselben Vorzeichen: 'Xtiv -\- p) = 

 ^%{v-h^p). Daraus folgt: 7o(ö + p) ^ %(«). 



Gehört +p zur Gruppe derjenigen Halbperioden, die .1 in B, somit 

 auch B in A überführen, so ist 



wo c eine Konstante, eine vierte Wurzel der E^inheit bedeutet. Daraus 

 folgt, indem man v um \p vermehrt: 



c 



X(r + p) = 



Es ist also wiederum: %(»+/') = %(*')• 



Nimmt man aber an, daß ^p einer der beiden übrigen Gruppen 

 angehört, so ist 



%{v + ^p) = cy,,{v), 



wo %,(r) der Quotient der beiden von A und B verschiedenen Theta 

 ist. Da eins der Theta ungerade, die drei andern gerade sind, so ist 

 %(ü)%, (i') ungerade. Man hat daher: 



%(— V) %{— v-hip) = — vAc) %(i- + ip) ■ 



Anderseits ist %( — v) = ^%(v} und, mit demselben Vorzeichen ^: 

 %(—v-hi-p) = ^%(i- — i-p)- 

 Daraus folgt: 



%(— «)X (—«'-+- tJo) = X{v)%{v — ip). 



Demnach ist 



%iv-hip) = —%(v — i-p), %{v+p) = —%{v). 



Wir haben so den Satz gewonnen: Es ist %(v-i-p) = %(p), wenn 

 +J9 eine ganze Periode ist oder eine derjenigen halben, die den Zähler 

 von % in den Nenner überführen; andernfalls: %(v-hp) = — %(o). 



