ScHorTKv: Über dir vier jACOursolieii Tlietn. 899 



Die Quadrate der Thetaquotienten, die gerade Funktionen von v 

 sind, aber auch die aus allen vier Theta, A , B , C , D, gebildeten un- 

 geraden : 



, _ AB 

 ^ ~~CD 



bleiben ungeändert, wenn man v um irgendeine ganze Periode vei-- 

 mehrt. Denn es sei +p eine halbe Periode, die A in B, C in D über- 

 fährt. Dann kann man setzen: 



-^ = yAv) , ■4'{c) = c%(v) %(v -+- +p] . 



Vermehrt man v um eine ganze Periode, so bleiben die Faktoren 

 %(d) und %{v-i--Tp) beide ungeändert, oder sie wechseln beide ihr 

 Zeichen: 4^(v) bleibt daher ungeändert. — Man hat ferner: 



■vl/(;'-t-ip) = c%(ö-f-ij9) %(?'+/)). 



■^p gehört niclit zu den Halbperioden, die den Zähler von % in den 

 Nenner überführen. Somit ist 



VM' i-p) = — X(") . und %!/(?; + i-p) = —-^{v) . 



Es sei i-p' eine halbe Periode aus einer andern Gruppe wie ^p. 

 Sie fuhrt nicht ^ in -ß über; also entweder A in C, B in D, oder 

 umgekehrt. Jedenfalls ist: 



wo wieder c eine vierte P]inheitswurzel bedeutet. Aber es ist not- 

 wendig r = ± I . Wir können bei dem Beweise v und w als reell 

 annehmen. Dann ist -^{v) reell, und es sind, wenn wir mit \q' den 

 zu ^p' ^ inir-hnwi konjugierten Wert miv — Jico/ bezeichnen, -^{v-^^p') 

 und -^{v + ^q) konjugierte Werte. Nun ist aber ^p' — i-q' = 2nwi 

 eine ganze Periode. Die beiden konjugierten Werte sind daher ein- 

 ander gleich, d.h.: es ist 4^{v-i-TP') reell. Dann kann offenbar c 

 nicht ± / sein. 



Da -^(ü-i-^-p) = — ■v|/(i'') ist, so ist von den beiden Werten 



^'(v-t-^p') und -vi/ ( (5 + +p -I- +/) ' ) der eine gleich + -p , der andre . 



Damit ist bewiesen: 



Von den drei Gruppen halber Perioden führt die eine yp in — 4^, 



eine zweite \|/ in -^ , die dritte \|/ in p über. 



Wir bezeichnen, abweichend von Jacobi, die ungerade Funk- 

 tion mit S-o oder 3-, die drei geraden mit S-, , 3-^ , S^j , und zwar so, daß 



