ScHo iTKY : Üher die vier jArdürsclieii TlieUi. 901 



über, und da 



ist, so haben wir: 





,(e; + 7r,) = (A/x)^. 



Allgemein, wenn oc irgend einen der Indizes 1,2,3 bedeutet, ist: 



Aus den Grleichungen (x/A) = — (A/x), (;c/x) := (>c/A) (x/|u) geht hervor, 

 dal3 das Zeichen (jc/A) bestimmt ist, wenn (1/2), (1/3) und (2/3) gegeben 

 sind; denn es ist z.B. (2/1) = — (1/2), (i/i) ^ (1/2) (1/3), usf. Aber 

 diese drei Werte hängen davon ab, in welcher Reihenfolge wir die 

 drei Gruppen aufstellen. Wir nehmen als erste Gruppe diejenige an, 

 die 4-77, als letzte die, welche den Wert -^-uii enthält. Dann läßt sich 

 beweisen: es ist (a//3) = i, wenn u = 1, und auch stets, wenn /3 = 3 

 ist. Wir nehmen dabei wieder v und w als reell an. Der Quotient 



-r~- kann, indem man v um -f tt vermehrt, nur wieder in eine reelle, 



ir 



sein Quadrat also nur wieder in eine positive Größe übergehen. Dem- 

 nach ist (i/iQ) = -+- I. 



^. 

 Betrachten wir ferner den Quotienten ^ = 7, und vermehren v 



um eine halbe Periode 7r„. Es sei tt^^z viiv -\-nuii, -k'^ =l m~ — nwi. 

 Dann sind yj{v-\-TT^ und '/j(w-f-7r^) konjugierte Größen. Aber die 

 Differenz 7r„ — tt^ := 2nuii ist eine ganze Periode, und zwar eine solche, 

 deren Hälfte der Gruppe (o) oder der Gruppe (3) angehört. Es ist 

 daher %{v + Tr„) ^ %{v-\-'Ti'„), somit 7j(?'-+-7r„) reell und "/C{p + ~„) 

 positiv. Daraus folgt: (a/3) = -1- i. 

 Da hiernach 



(i/i)=i, (1/2) =1, (1/3) =^1, (2/3) =1, {il2,) = i 



ist, so ist 



(2/1) = — I, (3/1) = — I, (3/2) = — !, (2/2) = — !. 



Es ist also, wenn x., A verschiedene der di'ei Zahlen sind, (y-jX) = -\- i 

 oder — i> je nachdem x kleiner oder größer als A ist; es ist außerdem 

 (x/x) = (-i)«- . 



Die Sätze sind in bezug auf die einfachsten geraden und ungeraden 

 elliptischen Funktionen aufgestellt. Aber man betrachte z. B., indem 



