902 Ci'S.'iiiriiitsit/.iiri'i- vom ^(i. Octübcr 1911. 



man wieder unter x, A, w die Zahlen 1,2,3 i^ irgendwelcher Reihen- 

 folge versteht, die Ausdrücke 



^^) ' S-(?))S-„(v) ' 



die aucli elliptische Funktionen der Klasse sind. Sie gehen, wenn 

 man i' um -„ vermehrt, in 



über. Aber c und r' sind nicht nur von r, sondern auch von a unab- 

 hängig, denn die Exponeutialfaktorcn lielien sich vollständig fort. 

 Man kann demnach die Konstanten bestimmen, indem man = 

 annimmt; dann ergibt sich: c=(kJk), r' ^ — i. — 



Man hätte kürzer zu den Vorzeichensätzen kommen können durch 

 Benutzung der Thetafunktion mit Charakteristik. Aber dann würde 

 manches unwesentlicher erscheinen, als es in Wirklichkeit ist, und die 

 Gründe, aus denen ich vorschlage, unter S-(ü) die imgerade Funktion 

 zu verstehen, wären weniger deutlich. 



Die zweite Grundeigenschaft der JACOBischen Theta besteht in 

 folgendem. Die vier Produkte Sr„(2' — a) S-,(t?-l-ß) lassen sich linear 

 und homogen durch zwei Funktionen von v ausdrücken, die a gar 

 nicht enthalten. Ebenso sind, wenn 3-, eins der geraden Theta ist, 

 9-^ , 3-^ die beiden andern, die beiden Produkte ^(v — a)S-^{v-i-a) und 

 3^^(ü — ß)3-„(w-i-ß) durch zwei Funktionen von v allein ausdrückbar. 



Darauf beruhen die JACOBischen Additionstheoreme. Wir haben 

 wohl seit Jacobi etwas die Freude an vielfach verschlungenen Gleichungs- 

 systemen verloren, hauptsächlich durch die Theta von mehreren Variabein, 

 wo solche Beziehungen sich häufen. Dennoch will ich auf die JACOBi- 

 schen Gleichungen eingehen mit der Absicht, zu zeigen, daß durch 

 die Wahl des ungeraden Theta als Hauptfunktion wirklich eine Ver- 

 einfachung erzielt wird. 



Zunächst werde die Gleichung zwischen den Quadraten der drei 

 geraden Theta aufgestellt: 



a^l{v)-+-ö^l(D)-hc^l{D) = o. 



Indem man durch 9^^ dividiert und dann v um tt^ vermehrt, ergibt sich: 



(x/x) a S-'(w) -+- (y.jX) /)^l(v) -+■ {y.jiJ.)c^l{v) = o . 



Daraus folgt für r = o: 



(>ijX)h^l{o)-h{KlfjL)c^l{o) = o. 



