Scaorrky: Partieuläre Lösungen von A() = o. 1153 
die Werthe der Ableitungen als cartesische Coordinaten eines Punktes 
betrachtet, die einer Minimalfläche. 
Hr. WEINGARTEN vermeidet die Einführung imaginärer Potentiale. 
Ebenso Hr. Frogexıvs in einer Arbeit, die sich mit demselben Gegen- 
stand beschäftigt‘. Und doch wird der Grund des WEINGARTEN’schen 
Theorems und sein Zusammenhang mit dem Jacogi’schen Satze deut- 
licher, wenn man ähnlich wie Jacosı verfährt und die einfacheren 
imaginären Potentiale, deren reelle Theile die Weıscarten’schen sind, 
in den Vordergrund stellt. — 
Es sei $ eine beliebige analytische Funetion der reellen Variabeln 
x,y,2. Wir bilden den Ausdruck 
ob od 09 
A dw 4 y "0 - 
Dieser hat die wesentliche Eigenschaft, dass er sich unter allen 
Umständen durch die drei Ableitungen von $ ausdrücken lässt, auch 
dann, wenn bei willkürlichen Werthen von &,y,2z eine oder auch 
zwei verschiedene Gleichungen zwischen den Ableitungen bestehen. 
Denn bezeichnet man die drei Ableitungen mit «, $, y und den auf- 
gestellten Ausdruck mit d, so ist 
pp =ax+ßy+yzs+6, 
o—= xda+ydß+zdy+d. 
Ausserdem ist 
da 08  dy 
Ad)=-- +. - +--. 
eu ou 92 
Es ist leicht zu sehen, dass «, 8, y und auch d Potentialfunetionen 
sind, wenn & eine solehe ist; ein Umstand, den wir indess nicht zu 
benutzen brauchen. 
Wenn wir die Grössen 2, 8, y, 0 durch so viele Hülfsgrössen 
ausdrücken — wir wollen sie Parameter nennen —., wie für diesen 
Zweck nothwendig sind, so können wir die Linearform & nach den 
Parametern differenziren. Diese in «, y, 2 linearen Ausdrücke, deren 
Coeffieienten die Ableitungen von &, ®,y, d nach den Parametern c, © 
oe dp dp 
do ’ do,’ de?’ 
Wir haben drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem #, 8, y,& 
als Funetionen eines Parameters co, oder zweier: © und co,, oder nur 
durch drei Parameter ausdrückbar sind. 
ı 
sind, bezeichnen wir kurz als SE IR 
ı Frosenivs, Über Potentialfuncetionen, deren Hesse’sche Determinante ver- 
schwindet. Gött. Nachr. 18gr. 
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