269 



Obige Tatsachen lassen sich nur schwer mit der Annahme 

 von Niere ostein in Einklang bringen. Die Ubereinstimmung 

 mit den Anschauungen von Feist ist hingegen leicht herzu- 

 stellen. 



Privatdozent Dr. Heinrich Tietze in Wien legt eine Mit- 

 teilung vor, betitelt: »Ein Kon verge nzkriterium fiir un- 

 endliche Kettenbruche.« 



Wird bei der Kettenbruchentwicklung einer irrationalen 

 Zahl (0 bei jedem Schritte nach Belieben der zwischen und 1 

 Oder der zwischen und — 1 gelegene Rest genommen (bis- 

 her genauer studierte Spezialfalle: regelmaCiger Kettenbruch, 

 reduziert-regelmafiiger Kettenbruch und Kettenbruch nach 

 nachsten Grenzen), so erhalt man einen unendlichen Ketten- 



(in der Bezeichnungsweise von Pringsheim) 



^«' K 



bruch 



mit ganzzahligen a~j,b^, wobei: 



«. = ±1...,S1 l(v = i,2,...). (A) 



^v+i = + 1, wenn hs,<c2] 



Er konvergiert gegen w, da alle seine Naherungsbriiche 

 Haupt- Oder Nebennaherungsbruche des regelmafiigen Ketten- 

 bruches von oi sind, und er ist bei vorgegebener Teilzahler- 

 folge 



a^, a.^, . . .a^, . . . (jedes t?., == +1 oder — 1) (B) 



der einzige Kettenbruch vom Wert w mit ganzzahhgen, (A) 

 geniigenden a,/, h^, vvie aus den mit geometrischen Methoden 

 leicht nachweisbaren Satzen folgt: 



Jeder den Bedingungen (A) geniigende unendliche Ketten- 

 bruch ist konvergent (fiir beliebige auch nicht-ganzzahlige b^ 

 giiltiges Konvergenzkriterium). — Der Wert jedes unendlichen 

 Kettenbruches mit ganzzahligen, (A) geniigenden a^, b^ ist 

 irrational, ausgenommen es ist von einer gewissen Stelle an 

 durchwegs a., =: — 1, &^ = 2. — Zwei derartige unendliche 

 Kettenbriiche mit gleicher Folge (BJ der a., und verschiedenen 

 Folgen der b^ haben verschiedene Werte. 



