202 Georg Duncker. 



Hieraus folgt, daß r ein Minimum, d. h., daß die mittlere quadratische 

 Abweichung der Varianten von irgendeinem andern, als dem Mittelwert 

 der Eeihe, z. B. von A ± d, stets größer ist, als v 2 , denn es ist 



-2 (7— [A±d])* = u 2 + <!\ 

 n 



Auf dieser Eigenschaft der Hauptabweichung, ein Minimum zu sein, 

 beruht ihre besondere Bedeutung als Maß der Variabilität gegenüber der 

 durchschnittlichen, der wahrscheinlichen Abweichung usw. 



Die durch Untersuchung erhaltene Variationsreihe eines Merkmals 

 stellt naturgemäß nur eine Stichprobe aus der sehr viel größeren Gesamt- 

 menge existierender Individuen der Formengemeinschaft dar. Die aus 

 ihr ermittelten Durchschnittswerte sind daher den wahren Durchschnitts- 

 werten der Gesamtheit gegenüber als fehlerhaft anzusehen. Die Zuver- 

 lässigkeit eines empirischen Durchschnittswertes steigt einerseits mit der 

 Anzahl der Beobachtungen, aus denen er gewonnen ist, andererseits sinkt 

 sie bei zunehmender Variabilität dieser Beobachtungen. Denkt man sich 

 die Bestimmung eines Durchschnittswertes, etwa von A, aus je n Beob- 

 achtungen so häufig wiederholt, wie die Gesamtmenge existierender 

 Individuen dies zuläßt, so ist der w a h r s c h e i n 1 i c h e Fehler desselben, 

 hier also ± E (A), diejenige Abweichung von seinem wahren Betrag, 

 innerhalb deren Grenzen sich die Hälfte aller für A aus je n Beobachtungen 

 bestimmten Einzelweite halten würden, während die andere Hälfte außer- 

 halb dieser Grenzen läge. 



Der wahrscheinliche Fehler des arithmetischen Mittels einer Variations- 

 reihe ist 



E U> = £, 



V n 



wo die numerische Konstante X = 0,67449; derjenige ihrer Haupt- 

 abweichung angenähert 1 ) 



E (v) 



V2n 



Die Angabe eines Durchschnittswertes ohne seinen wahrscheinlichen 

 Fehler ist statistisch unvollständig. 



') Exakt: EW = ^ |/-^~-, wo ß 4 = 



1 I {V-AY 



