Schwarz: Antrittsrede. G25 



Steigerung erfuhr, ist in demjenigen Theile, welcher sich mit der 

 Untersuchung des Maximums und des Minimums von Doppel- und 

 mehrfachen Integralen beschäftigt, zur Zeit noch wenig entwickelt. 

 Die Ursache hiervon ist in dem Umstände zu finden, dass der gegen- 

 wärtige Stand unseres Wissens bezüglich der Existenz particulärer In- 

 tegrale gegebener partieller Differentialgleichungen, falls diese Integrale 

 für gegebene Bereiche vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedin- 

 gungen genügen sollen, viel zu wünschen übrig lässt. Um so erfreu- 

 licher ist es, dass es gelungen ist, die Frage für einige specielle mit 

 der Theorie der analytischen Functionen, der Lehrt 1 von den Minimal- 

 flachen und der Lehre von den Flächen constanten Krümmungsmaasses 

 nahe zusammenhängenden partiellen Differentialgleichungen in einem 

 Umfange zu beantworten, welcher für viele Untersuchungen ausreicht. 



Durch die Einwendungen, welche Hr. Weierstrass gegen die Zu- 

 lässigkeit derjenigen Schlussweise geltend gemacht hat, welche die 

 Grundlage der RiEMANN'schen Behandlungsweise der Theorie der alge- 

 braischen und der AßEi/schen Functionen bildet, war diese Schluss- 

 weise unhaltbar geworden. 



Einige glückliche Funde in dem Gebiete der Untersuchungen über 

 conforme Abbildungen ebener Bereiche auf einander gaben mir die 

 Veranlassung den Versuch zu machen, die von Riemann angewendete, 

 mit dem Namen des Dirichlet' sehen Princips belegte Schlussweise 

 durch ein strenges Beweisverfahren zu ersetzen. Durch Anwendung 

 eines Näherungsverfahrens, eines Grenzüberganges durch alternirendes 

 Verfahren, dessen sich später auch Hr. C. Neumann zu demselben 

 Zwecke mit Erfolg bedient hat, ist es mir gelungen, sowohl für ge- 

 schlossene RiEMANN'sche Flächen, als auch für solche ebene Bereiche, 

 deren Begrenzungslinie gewissen Bedingungen genügt, die Schwierig- 

 keiten zu überwinden, welche der theoretischen Untersuchung auf diesem 

 Forschungsgebiete sich entgegengestellt hatten. Auch bei dieser Unter- 

 suchung hat sich die Verbindung geometrischer Betrachtungen mit rein 

 analytischen Untersuchungen als fruchtbar erwiesen. 



Die Frage, innerhalb welcher Grenzen ein Stück einer Minimal- 

 fläche wirklich ein Flächenstück kleinsten Flächeninhalts ist, eine Frage, 

 deren Beantwortung mich mehr als i 3 Jahre hindurch beschäftigt hat. 

 gab die Veranlassung, eine gewisse partielle Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung durch ein eigentümliches Näherungsverfahren, welches in 

 einer auf einer gewissen Iteration beruhenden fortschreitenden An- 

 näherung besteht, vorgeschriebenen Grenzbedingungen gemäss für einen 

 gegebenen Bereich zu integriren. Durch Anwendung dieses Verfahrens 

 gelang es, eine Untersuchung, deren erste vorläufige Ergebnisse von 

 der Königlichen Akademie durch Abdruck in den Berichten vom Jahre 



