(i o) ii,. = (x — a) ? 



Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 977 



^( F ^) | F«\p,x) 



1 ! 2 



F( P ,x)/(t)+- i -^f-f\i) + "-^-ra) + 



(w — i ) ! 



+ (.r-flO< + V/(*), 



wo 



( F(p,x) =-- Q (x) + Q,(^ + QMf + • • • + Q«-^- 1 , 



und (/(/) eine wie / x (£) beschaffene Function ist. 



Ks seien nunmehr die Coefficienten von Q Q {x), Q { {x), . . . Q„_,(#) 

 so bestimmt, dass die ganze rationale Function von /•: 



(.2) F(;r,a) ---- Q (a) + Q,(a)r + Q 3 (a)r 2 + . . . + Q^fät»- 1 , 



den Linearfaetor r — p genau f^fach enthält, dagegen aber für keine 

 andere Wurzel der Gleichung (3) verschwindet. Da m <. fx , so ist 

 f M {t), . . .f n ~ l) {t) identisch Null, während: 



(13) F(p,a) = o, ...F ( ^(p,a) = o. 

 Es ist liier vorausgesetzt: 



(14) V<n. 



Wir können die noch unbestimmten Coefficienten von 

 Q (x), Q^x), ... Q /t _,(Ä-) 

 stets so wählen, dass p + i auch genau der Exponent ist, zu welch ein 

 u x , u 2 , ... w M gehören. 



Ist r = (7 eine von p verschiedene Wurzel drv Gleichung (3) und £ 

 ein entsprechendes Element des zu a gehörigen Fundamentalsystems, 

 so ist unserer Voraussetzung nach nicht gleichzeitig 



F(<r,a) = o , F'(<r, a) = o, ... F n -\<7, a) = . 



Bezeichnen wir demnach mit v das Resultat der Substitution y = £ 

 in Gleichung (6), so gehört v noch immer zum Exponenten er. 



Es seien diejenigen Wurzeln der Gleichung (3), welche von einer 

 bestimmten Wurzel r, derselben um ganze Zahlen verschieden sind, 

 derart in Gruppen vertheilt, dass in jeder Gruppe gleiche Wurzeln sich 

 befinden. Die Gruppe R Q enthalte die Wurzel i\ f>t fach, die Gruppe /»', 

 die Wurzel r l — g 1 ^fach u. s.w., die Gruppe R v die Wurzel r l ~g v 

 ju^fach, wo die Grössen g positive ganze Zahlen bedeuten, welche 

 sänmitlich von Null verschieden sind und mit dem Index anwachsen. 

 Dann gibt es ein der Gruppe R x entsprechendes System von Integralen: 



welche zum Exponenten >\—g } gehören und so beschaffen sind, dass 



