9/8 Gesammtsitzung vom 16. November. 



nicht durch eine lineare Combination derselben mit Integralen höherer 

 Exponenten ein anderes zu r, — g } gehöriges System mit einer geringeren 

 Anzahl von Elementen erhalten werden kann, während jedes andere 

 Integral, welches zum Exponenten r l —g x gehört, sich durch das 

 System (et) linear ausdrücken lässt. 1 

 Wenn umgekehrt: 

 (ß) w 1 ,w 2 , . . . w p 



ein System von Integralen ist , welche zu einer Wurzel r, — g x der 

 Gleichung (3) als Exponenten gehören, und wenn das System (/3) nicht 

 durch eine lineare Combination seiner Elemente mit Integralen höherer 

 Exponenten auf ein anderes ebenfalls zu i\ — g x gehöriges System mit 

 einer geringeren Anzahl von Elementen zurückgeführt werden kann, 

 während jedes andere Integral, welches zum Exponenten r, — g x ge- 

 hört, sich durch das System (/3) linear ausdrücken lässt, so ist r I — g x 

 eine p fache Wurzel der Gleichung (3). Denn wäre r l — g A eine q fache 

 Wurzel und q <.p , so müsste nach dem eben citirten Satze das System (/3) 

 sich durch eine geringere Anzahl von Elementen ausdrücken lassen. 

 Es möge nunmehr u aus Gleichung (6) der Differentialgleichung: 



, , d n u d n ~ l u 



genügen. Setzen wir in (6) an die Stelle von y suecossive die Ele- 

 mente des Systems (ot) und bezeichnen die Resultate mit: 



(7) ">.,l' W ),,2'-'-^,,V 



Möge die oben mit p bezeichnete Wurzel der Gleichung (3) jetzt: 



( 1 6) P = r l — g l 



sein, und Q , Q, , . . . Q rt _, so bestimmt werden, dass F(r , ä) [Glei- 

 chung (12)] den Linearfactor r — (r, — g t ) genau (t/,fach enthält. Als- 

 dann gehören die Integrale des Systems: 



zum Exponenten r x — g t -{- 1 , während für X ^ 1 das System (7) zum 

 Exponenten r, — g x gehört. 



Die Elemente eines Systems (7) für A =\= o stehen aber weder 

 unter einander noch mit den Integralen eines anderen Systems in 

 linearer Beziehung, wenn die Gleichung (1) irreductibel ist. 

 Dasselbe gilt für A = o , wenn g x ~>i. 



Die zu x = a gehörige determinirende Fundamental- 

 gleichung für die Gleichung (15) besitzt also die Wurzeln: 



1 Crelle's Journal, B. 68, S. 355. 



