Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen, 9/9 



(e) r li r l — g l -\-\ i r t —g li • • >r t — g v , 



resp. ju , ju, , ju 2 , . . . ju„facli, wenn #,>i. 

 Ist #, — i > i , so sei : 



c?m d n ~ x u 



(6 a ) v = R u + R t — +... + R n _ l -^- ri 



wo R , R x , . . . R„_ t ganze rationale Functionen sind, welche so be- 

 stimmt werden, dass: 



( i 2 a ) F x (r ,a) = R {a) + R l (a) r+... + R n _, (a) r n ~ l 



den Linearfactor r — (r, — g x + i) genau |U,mal enthält. Alsdann er- 

 gibt sich, wie oben, dass die Wurzeln der zu a gehörigen determi- 

 nirenden Fundamentalgleichung für die Differentialgleichung: 



d"v d n ~ l v 



welcher v aus (6 a ) genügt: 



(e') r, , r t — ^ + 2 , r,— # 2 , . . . i\ — g v , 



und zwar genau resp. fx , fa, fj. 2 , . . . |U„fach sind. 



Wiederholen wir den Process (6), (6 a ) . . . , so ergibt sich: 

 Wir können eine mit (1) zu derselben Classe gehörige 



Differentialgleichung aufstellen, bei welcher die von r x um 



ganze Zahlen verschiedenen Wurzeln der zu a gehörigen 



de terminir enden Fundamentalgleichung: 



(ä r .> r i - l > r *—92> ••■r l —g l ,, 



sind und resp. f/. , \x x , f/, 2 , . . . ^fach auftreten. 



Wiederholen wir denselben Process an den Gruppen, deren Re- 

 praesentanten 1\ — g 2 , i\ —g 3 , ... r x — g v sind , so gelangen wir zu einer 

 mit (1) zu derselben Classe gehörigen Differentialgleichung, deren zu 

 a gehörige determinirende Fundamentalgleichung die Wurzeln: 



(*I) r, , r, — 1 , r, — 2 , . . . r, — v , 



resp. fj. , fXj , fj. 2 , . . . |W,,fach hat, während die übrigen Wurzeln dieser 

 Gleichung mit denjenigen Wurzeln der Gleichung (3) übereinstimmen, 

 die nicht von i\ um ganze Zahlen verschieden sind. 



Der Process, durch w r eichen von einer Differentialgleichung zu 

 einer anderen derselben Classe übergegangen wird, ist so beschaffen, 

 dass die Integrale der letzteren nicht an einer endlichen Stelle, 

 welche von den singulären Punkten der ersteren verschieden ist, un- 

 endlich werden können. Da die Integrale der letzteren sich aber auch 

 nicht an einer von den singulären Punkten der ersteren abweichenden 

 Stelle verzweigen können, so können in der letzteren Differential- 



